Três pesquisadores, A, B e C, que não se conhecem, foram convidados a tentar resolver um único problema. Sabe-se, pela experiência e conhecimento de cada pesquisador, que as probabilidades de encontrar a solução do referido problema são de
para o pesquisador A , de
para B e de
para C. Após um determinado tempo foi perguntado a eles se conseguiram resolver o problema. Definindo Y como sendo a variável aleatória que representa o número de pesquisadores que de fato conseguiram resolver esse problema, determine sua distribuição de probabilidade e sua função de distribuição acumulada juntamente com o seu gráfico. Diga qual suposição devemos assumir para resolver este problema e por que, neste caso, é razoável assumi-la como verdadeira.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre três pesquisadores, A, B e C, que têm diferentes chances de resolver um problema. A gente precisa descobrir qual é a probabilidade de cada um deles conseguir resolver e como isso se comporta coletivamente. Vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente distribuição de probabilidade e função de distribuição acumulada. Para resolver isso, vamos precisar calcular as probabilidades individuais e combinadas de cada pesquisador resolver ou não o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as probabilidades de cada pesquisador resolver o problema:
- Pesquisador A:
- Pesquisador B:
- Pesquisador C:
Também precisamos considerar as probabilidades de cada um não resolver o problema, que são:
- Pesquisador A:
- Pesquisador B:
- Pesquisador C:
Passo 3
Agora, vamos definir a variável aleatória
como o número de pesquisadores que conseguem resolver o problema.
pode assumir os valores 0, 1, 2 ou 3. Vamos calcular a probabilidade para cada caso.
Passo 4
Probabilidade de ninguém resolver o problema (
):
Passo 5
Probabilidade de exatamente um pesquisador resolver o problema (
):
Isso pode acontecer de três maneiras:
- Apenas A resolve:
- Apenas B resolve:
- Apenas C resolve:
Somando as três possibilidades:
Passo 6
Probabilidade de exatamente dois pesquisadores resolverem o problema (
):
Também pode ocorrer de três maneiras:
- A e B resolvem, C não:
- A e C resolvem, B não:
- B e C resolvem, A não:
Somando as três possibilidades:
Passo 7
Probabilidade de todos resolverem o problema (
):
Passo 8
Distribuição de Probabilidade de
:
|
Probabilidade
|
---|---|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
Passo 9
Função de Distribuição Acumulada (FDA) de
:
A função acumulada é a soma das probabilidades até determinado valor de
.
Passo 10
Gráfico da Função de Distribuição Acumulada:
No gráfico,
está no eixo horizontal e
no eixo vertical, mostrando um salto nas probabilidades acumuladas em cada ponto.
Passo 11
Suposição Necessária:
Devemos assumir que os eventos de cada pesquisador resolverem o problema são independentes. Isso significa que o sucesso de um pesquisador não influencia o sucesso dos outros. Essa suposição é razoável aqui porque o enunciado diz que os pesquisadores não se conhecem, o que sugere que não há troca de informações ou influências entre eles que possam afetar suas chances de resolver o problema.
Resposta
A distribuição de probabilidade de
é:
A função de distribuição acumulada de
é:
E a suposição que devemos assumir é a independência dos eventos de cada pesquisador resolver o problema, pois isso permite calcular as probabilidades combinadas de forma simples e direta.