Três pesquisadores, A, B e C, que não se conhecem, foram convidados a tentar resolver um único problema. Sabe-se, pela experiência e conhecimento de cada pesquisador, que as probabilidades de encontrar a solução do referido problema são de 1 / 4 para o pesquisador A , de 1 / 5 para B e de 1 / 3 para C. Após um determinado tempo foi perguntado a eles se conseguiram resolver o problema. Definindo Y como sendo a variável aleatória que representa o número de pesquisadores que de fato conseguiram resolver esse problema, determine sua distribuição de probabilidade e sua função de distribuição acumulada juntamente com o seu gráfico. Diga qual suposição devemos assumir para resolver este problema e por que, neste caso, é razoável assumi-la como verdadeira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre três pesquisadores, A, B e C, que têm diferentes chances de resolver um problema. A gente precisa descobrir qual é a probabilidade de cada um deles conseguir resolver e como isso se comporta coletivamente. Vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente distribuição de probabilidade e função de distribuição acumulada. Para resolver isso, vamos precisar calcular as probabilidades individuais e combinadas de cada pesquisador resolver ou não o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades de cada pesquisador resolver o problema:
  • Pesquisador A:
  • Pesquisador B:
  • Pesquisador C:
Também precisamos considerar as probabilidades de cada um não resolver o problema, que são:
  • Pesquisador A:
  • Pesquisador B:
  • Pesquisador C:

Passo 3

Agora, vamos definir a variável aleatória como o número de pesquisadores que conseguem resolver o problema. pode assumir os valores 0, 1, 2 ou 3. Vamos calcular a probabilidade para cada caso.

Passo 4

Probabilidade de ninguém resolver o problema ( P(Y=0) = P(A falha) times P(B falha) times P(C falha) = 34 times 45 times 23 = 2460 = 25 ):

Passo 5

Probabilidade de exatamente um pesquisador resolver o problema ( 14 times 45 times 23 = 860 ):
Isso pode acontecer de três maneiras:
  1. Apenas A resolve:
34 times 15 times 23 = 660
  1. Apenas B resolve:
34 times 45 times 13 = 1260
  1. Apenas C resolve:
P(Y=1) = 8 + 6 + 1260 = 2660 = 1330
Somando as três possibilidades:

Passo 6

Probabilidade de exatamente dois pesquisadores resolverem o problema ( 14 times 15 times 23 = 260 ):
Também pode ocorrer de três maneiras:
  1. A e B resolvem, C não:
14 times 45 times 13 = 460
  1. A e C resolvem, B não:
34 times 15 times 13 = 360
  1. B e C resolvem, A não:
P(Y=2) = 2 + 4 + 360 = 960 = 320
Somando as três possibilidades:

Passo 7

Probabilidade de todos resolverem o problema ( P(Y=3) = 14 times 15 times 13 = 160 ):

Passo 8

Distribuição de Probabilidade de :
Probabilidade
0
1
2
3

Passo 9

Função de Distribuição Acumulada (FDA) de :
A função acumulada é a soma das probabilidades até determinado valor de .

Passo 10

Gráfico da Função de Distribuição Acumulada:
c|c Y & FY(Y) hline 0 & 25 1 & 56 2 & 5960 3 & 1
No gráfico, está no eixo horizontal e no eixo vertical, mostrando um salto nas probabilidades acumuladas em cada ponto.

Passo 11

Suposição Necessária:
Devemos assumir que os eventos de cada pesquisador resolverem o problema são independentes. Isso significa que o sucesso de um pesquisador não influencia o sucesso dos outros. Essa suposição é razoável aqui porque o enunciado diz que os pesquisadores não se conhecem, o que sugere que não há troca de informações ou influências entre eles que possam afetar suas chances de resolver o problema.

Resposta

A distribuição de probabilidade de é:
A função de distribuição acumulada de é:
E a suposição que devemos assumir é a independência dos eventos de cada pesquisador resolver o problema, pois isso permite calcular as probabilidades combinadas de forma simples e direta.

Exercícios relacionados