Determine y = y(x) que satisfaça as condições dadas. d y/d x = y cos x / (1 + 2 y^2), y(0) = 1.

Passo 1

Vamos resolver o seguinte problema: encontrar a função que satisfaz a equação diferencial com a condição inicial . Estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar a técnica de separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e para facilitar a integração. Isso significa reorganizar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro.
Começamos com:
Podemos reescrever isso como:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar funções cujas derivadas correspondam aos lados da equação atual.
Integrando o lado esquerdo em relação a :
E integrando o lado direito em relação a :

Passo 4

Vamos igualar as integrais e juntar as constantes de integração:
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo e na equação:

Passo 6

Com o valor de encontrado, a equação fica:

Resposta

A solução da equação diferencial é dada implicitamente por:

Exercícios relacionados