Determine
que satisfaça as condições dadas.
.
Passo 1
Vamos resolver o seguinte problema: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial
com a condição inicial
. Estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar a técnica de separação de variáveis para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
para facilitar a integração. Isso significa reorganizar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro.
Começamos com:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar funções cujas derivadas correspondam aos lados da equação atual.
Integrando o lado esquerdo em relação a
:
E integrando o lado direito em relação a
:
Passo 4
Vamos igualar as integrais e juntar as constantes de integração:
Onde
é uma constante arbitrária.
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
na equação:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, a equação fica:
Resposta
A solução da equação diferencial é dada implicitamente por:
Exercícios relacionados
Obtenha a equação diferencial associada à primitiva
.
(Sugestão: como existem constantes devemos considerar as
equações obtidas juntando-se a primitiva as 3 equações provenientes de 3 derivadas sucessivas).
(Sugestão: como existem
Encontre o comprimento das curvas que limitam a região formada pela interseção das curva
e
, situada no primeiro quadrante.
Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados.
em
;
Obtenha a equação diferencial associada à primitiva
. Com
e
sendo constantes arbitrárias.