Determine que satisfaça as condições dadas. .

Passo 1

Vamos resolver o seguinte problema: encontrar a função que satisfaz a equação diferencial com a condição inicial . Estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar a técnica de separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e para facilitar a integração. Isso significa reorganizar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro.
Começamos com:
Podemos reescrever isso como:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar funções cujas derivadas correspondam aos lados da equação atual.
Integrando o lado esquerdo em relação a :
E integrando o lado direito em relação a :

Passo 4

Vamos igualar as integrais e juntar as constantes de integração:
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo e na equação:

Passo 6

Com o valor de encontrado, a equação fica:

Resposta

A solução da equação diferencial é dada implicitamente por:

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Obtenha a equação diferencial associada à primitiva .
(Sugestão: como existem constantes devemos considerar as equações obtidas juntando-se a primitiva as 3 equações provenientes de 3 derivadas sucessivas).
Encontre o comprimento das curvas que limitam a região formada pela interseção das curva e , situada no primeiro quadrante.
Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados. em ;
Obtenha a equação diferencial associada à primitiva . Com e sendo constantes arbitrárias.