Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados. em ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função no ponto usando a definição de derivada. Basicamente, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição passo a passo para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite da razão de variação de quando o intervalo tende a zero. Em fórmula, isso fica assim:
Aqui, representa a derivada de em .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função no ponto . Substituindo por , temos:

Passo 4

Vamos calcular os valores de e :
Sabemos que .
Além disso, usando a identidade trigonométrica , podemos dizer que:

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão da derivada, temos:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão:
Sabemos que o limite de quando tende a zero é igual a zero, pois se aproxima de 1 conforme se aproxima de zero.

Passo 7

Portanto, concluímos que:

Resposta

A derivada de no ponto é igual a 0.

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