Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados.
em
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada da função
no ponto
usando a definição de derivada. Basicamente, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicar a definição passo a passo para encontrar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da razão de variação de
quando o intervalo
tende a zero. Em fórmula, isso fica assim:
Aqui,
representa a derivada de
em
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
no ponto
. Substituindo
por
, temos:
Passo 4
Vamos calcular os valores de
e
:
Sabemos que
.
Além disso, usando a identidade trigonométrica
, podemos dizer que:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão da derivada, temos:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão:
Sabemos que o limite de
quando
tende a zero é igual a zero, pois
se aproxima de 1 conforme
se aproxima de zero.
Passo 7
Portanto, concluímos que:
Resposta
A derivada de
no ponto
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Determine
que satisfaça as condições dadas.
.
Obtenha a equação diferencial associada à primitiva
.
(Sugestão: como existem constantes devemos considerar as
equações obtidas juntando-se a primitiva as 3 equações provenientes de 3 derivadas sucessivas).
(Sugestão: como existem
Obtenha a equação diferencial associada à primitiva
. Com
e
sendo constantes arbitrárias.
Calcule a equação da reta tangente em
sendo dados:
em
.