Obtenha a equação diferencial associada à primitiva
. Com
e
sendo constantes arbitrárias.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função primitiva
, onde
e
são constantes arbitrárias. Nosso objetivo é encontrar a equação diferencial que essa primitiva satisfaz. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e características das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma equação diferencial linear de coeficientes constantes tem a forma geral:
Onde
é a
-ésima derivada de
.
Passo 3
Agora, observando a primitiva dada:
Podemos identificar as soluções da equação diferencial associada, que são
,
e
(já que
é uma constante).
Passo 4
Cada termo exponencial
corresponde a uma raiz
da equação característica da equação diferencial. Portanto, temos as raízes:
Passo 5
Montamos a equação característica a partir dessas raízes:
Expandindo os fatores:
Passo 6
A partir da equação característica expandida, podemos escrever a equação diferencial associada substituindo
por
:
Resposta
A equação diferencial associada é