Obtenha a equação diferencial associada à primitiva . Com e sendo constantes arbitrárias.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função primitiva , onde e são constantes arbitrárias. Nosso objetivo é encontrar a equação diferencial que essa primitiva satisfaz. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e características das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma equação diferencial linear de coeficientes constantes tem a forma geral:
Onde é a -ésima derivada de .

Passo 3

Agora, observando a primitiva dada:
Podemos identificar as soluções da equação diferencial associada, que são , e (já que é uma constante).

Passo 4

Cada termo exponencial corresponde a uma raiz da equação característica da equação diferencial. Portanto, temos as raízes:

Passo 5

Montamos a equação característica a partir dessas raízes:
Expandindo os fatores:

Passo 6

A partir da equação característica expandida, podemos escrever a equação diferencial associada substituindo por :

Resposta

A equação diferencial associada é

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