Obtenha a equação diferencial associada à primitiva
.
(Sugestão: como existem
constantes devemos considerar as
equações obtidas juntando-se a primitiva as 3 equações provenientes de 3 derivadas sucessivas).
(Sugestão: como existem
Passo 1
Então, temos que encontrar a equação diferencial que está associada à primitiva
. Aqui,
,
e
são constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas, para eliminar essas constantes e chegar à equação desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. A derivada nos ajuda a entender como a função
muda à medida que
muda.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. A segunda derivada nos indica a curvatura da função
.
Passo 4
Vamos também calcular a terceira derivada de
. A terceira derivada pode nos ajudar a eliminar as constantes restantes.
Passo 5
Temos agora quatro equações:
Nos passos anteriores, obtivemos expressões para
,
e
em termos de
,
e
. Nosso objetivo é eliminar essas constantes para encontrar uma relação que envolva apenas
e suas derivadas.
Passo 6
Observamos que a terceira derivada
já não contém as constantes
,
ou
. Isso significa que a equação diferencial que estamos procurando é simplesmente:
Resposta
A equação diferencial associada à primitiva
é:
Exercícios relacionados
Encontre o comprimento das curvas que limitam a região formada pela interseção das curva
e
, situada no primeiro quadrante.
Determine
que satisfaça as condições dadas.
.
Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados.
em
;