Obtenha a equação diferencial associada à primitiva .
(Sugestão: como existem constantes devemos considerar as equações obtidas juntando-se a primitiva as 3 equações provenientes de 3 derivadas sucessivas).

Passo 1

Então, temos que encontrar a equação diferencial que está associada à primitiva . Aqui, , e são constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas, para eliminar essas constantes e chegar à equação desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de em relação a . A derivada nos ajuda a entender como a função muda à medida que muda.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . A segunda derivada nos indica a curvatura da função .

Passo 4

Vamos também calcular a terceira derivada de . A terceira derivada pode nos ajudar a eliminar as constantes restantes.

Passo 5

Temos agora quatro equações:
Nos passos anteriores, obtivemos expressões para , e em termos de , e . Nosso objetivo é eliminar essas constantes para encontrar uma relação que envolva apenas e suas derivadas.

Passo 6

Observamos que a terceira derivada já não contém as constantes , ou . Isso significa que a equação diferencial que estamos procurando é simplesmente:

Resposta

A equação diferencial associada à primitiva é:

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Encontre o comprimento das curvas que limitam a região formada pela interseção das curva e , situada no primeiro quadrante.
Determine que satisfaça as condições dadas. .
Usando a definição de derivada, calcule as derivadas das funções abaixo nos pontos indicados. em ;