Encontre o comprimento das curvas que limitam a região formada pela interseção das curva e , situada no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento das curvas que delimitam a região formada pela interseção das curvas e no primeiro quadrante. Vamos usar conceitos de coordenadas polares e cálculo para achar esse comprimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram no primeiro quadrante. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Vamos resolver para encontrar os valores de :
Dividindo ambos os lados por (considerando que ):
Então,
Isso nos dá ou 60 graus.

Passo 4

Agora sabemos que as curvas se intersectam em . Então, a região no primeiro quadrante está delimitada por:
  • Daipia até : curva .
  • De até : curva .

Passo 5

Para encontrar o comprimento das curvas, usamos a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares:
Vamos calcular separadamente para cada parte da curva.

Passo 6

Primeira parte ( ) de a :
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Como :

Passo 7

Segunda parte ( ) de a :
Calculamos :
Agora, aplicamos na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Novamente, :

Passo 8

Agora, somamos os dois comprimentos para obter o comprimento total das curvas que delimitam a região:

Resposta

O comprimento total das curvas que delimitam a região é .

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Resolva as equações diferenciais:
Obtenha a equação diferencial associada à primitiva .
(Sugestão: como existem constantes devemos considerar as equações obtidas juntando-se a primitiva as 3 equações provenientes de 3 derivadas sucessivas).
Determine que satisfaça as condições dadas. .