Encontre o comprimento das curvas que limitam a região formada pela interseção das curva
e
, situada no primeiro quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento das curvas que delimitam a região formada pela interseção das curvas
e
no primeiro quadrante. Vamos usar conceitos de coordenadas polares e cálculo para achar esse comprimento.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram no primeiro quadrante. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Vamos resolver para encontrar os valores de
:
Dividindo ambos os lados por
(considerando que
):
Então,
Isso nos dá
ou 60 graus.
Passo 4
Agora sabemos que as curvas se intersectam em
. Então, a região no primeiro quadrante está delimitada por:
- Daipia
até : curva . - De
até : curva .
Passo 5
Para encontrar o comprimento das curvas, usamos a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares:
Vamos calcular separadamente para cada parte da curva.
Passo 6
Primeira parte (
) de
a
:
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Como
:
Passo 7
Segunda parte (
) de
a
:
Calculamos
:
Agora, aplicamos na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Novamente,
:
Passo 8
Agora, somamos os dois comprimentos para obter o comprimento total das curvas que delimitam a região:
Resposta
O comprimento total das curvas que delimitam a região é
.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais:
Obtenha a equação diferencial associada à primitiva
.
(Sugestão: como existem constantes devemos considerar as
equações obtidas juntando-se a primitiva as 3 equações provenientes de 3 derivadas sucessivas).
(Sugestão: como existem
Determine
que satisfaça as condições dadas.
.