Determine
tal que:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um número complexo
que satisfaça a equação
. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como a soma, produto e conjugado de números complexos. A gente vai precisar lembrar como calcular a potência de um número complexo e como trabalhar com o conjugado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Sabemos que para elevar um número complexo ao quadrado, usamos a fórmula
. Então:
Lembrando que
, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir esse resultado na equação original:
Nosso objetivo é isolar
. Para facilitar, vamos reorganizar a equação:
Passo 4
Vamos lembrar que qualquer número complexo
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais. O conjugado de
,
, então é
. Vamos substituir na equação:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão do lado direito:
Então, temos:
Passo 6
Agora, igualamos as partes reais e as partes imaginárias dos dois lados da equação:
Parte real:
Parte imaginária:
Resposta
Então, o número complexo que satisfaz a equação é: