Determine z em C tal que:
(a) (3+4i)^2 - 2*z_bar = z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um número complexo que satisfaça a equação . Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como a soma, produto e conjugado de números complexos. A gente vai precisar lembrar como calcular a potência de um número complexo e como trabalhar com o conjugado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Sabemos que para elevar um número complexo ao quadrado, usamos a fórmula . Então:
Lembrando que , temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir esse resultado na equação original:
Nosso objetivo é isolar . Para facilitar, vamos reorganizar a equação:

Passo 4

Vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito como , onde e são números reais. O conjugado de , , então é . Vamos substituir na equação:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do lado direito:
Então, temos:

Passo 6

Agora, igualamos as partes reais e as partes imaginárias dos dois lados da equação:
Parte real:
Parte imaginária:

Resposta

Então, o número complexo que satisfaz a equação é:

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