lim x 2 x^4-168-x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício é sobre Limites em Cálculo. Para resolver, vamos precisar simplificar as expressões polinomiais no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 2^4 - 168 - 2^3 = 16 - 168 - 8 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) . Esse é um caso de diferença de quadrados:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Ainda podemos fatorar mais:
x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)
Então, o numerador fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador 8 - x^3 = -(x^3 - 8) = -(x - 2)(x^2 + 2x + 4) . Podemos reescrever isso como:
Aqui, usamos a fatoração de diferença de cubos, onde com .

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
lim x 2 (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)-(x - 2)(x^2 + 2x + 4)

Passo 6

Observamos que o fator lim x 2 (x + 2)(x^2 + 4)-(x^2 + 2x + 4) aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-lo (desde que , o que está de acordo com o limite):

Passo 7

Agora, substituímos (2 + 2)(2^2 + 4)-(2^2 + 2 cdot 2 + 4) = 4 cdot (4 + 4)-(4 + 4 + 4) = 4 cdot 8-12 = 32-12 = -83 na expressão simplificada:

Resposta

lim x 2 x^4-168-x^3 = -83

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