Escreva os números complexos na forma z = a + b i, com a, b in R. Em seguida, calcule o módulo |z| = raiz(a^2 + b^2) e o complexo conjugado z = a - b i.
(d) (5-i)/(3+4i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para escrever o número complexo na forma , onde a e b são números reais. Depois disso, vamos calcular o módulo e o conjugado complexo . Para isso, vamos precisar saber como dividir números complexos, calcular o módulo e encontrar o conjugado.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a divisão . Para dividir números complexos, a gente multiplica o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .
Então, temos:
Agora, vamos expandir o numerador:
Lembrando que , substituímos:
No denominador:
Portanto, a fração simplificada fica:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo de z, que é dado por:
Substituindo os valores de a e b:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar o conjugado complexo de z, que é simplesmente trocar o sinal da parte imaginária. Então:

Resposta

O número complexo na forma é:
Seu módulo é aproximadamente , e o conjugado complexo é:

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