Determinse se a série é convergente ou divergente
sumn=1^infty(1+1n)^3 e^-n

Passo 1

Vamos analisar a série sumn=1^infty(1+1n)^3 e^-n para determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da razão, que é uma ferramenta útil para séries com termos que envolvem potências e expoentes.

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral da série, que é an = (1+1n)^3 e^-n. O Teste da razão nos ajuda a comparar an+1 com an para ver como a série se comporta conforme n aumenta.

Passo 3

Aplicamos o Teste da razão calculando o limite L = limn to infty | an+1an |. Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Calculamos an+1an:
an+1an = (1+1n+1)^3 e^-(n+1)(1+1n)^3 e^-n = (1+1n+11+1n)^3 e^-1

Passo 5

Simplificamos a expressão:
1+1n+11+1n = n+2n+1n+1n = n(n+2)(n+1)^2
(n(n+2)(n+1)^2)^3 e^-1

Passo 6

Calculamos o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty (n(n+2)(n+1)^2)^3 e^-1 = (n^2 + 2nn^2 + 2n + 1)^3 e^-1 approx (1)^3 e^-1 = e^-1
Sabemos que e^-1 approx 0,3679, que é menor que 1.

Resposta

A série sumn=1^infty(1+1n)^3 e^-n é convergente.

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