Deteruine uma equaçäo do plano tangente à superficie no ponto especificado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . Aqui, geralmente representa a distância do ponto à origem no plano , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para achar a inclinação da superfície nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar em termos de e :
Assim, a função fica:
Passo 3
Para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de em relação a e no ponto dado. Essas derivadas nos darão as inclinações do plano nas direções e .
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
No ponto , , então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
No ponto , e , então:
Passo 6
Com as derivadas parciais, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: