Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.
lim t 0(ln t, raizt^2+1, t-3)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que verificar se o limite existe para a função vetorial lim t 0(ln t, raizt^2+1, t-3) e, se existir, calcular esse limite. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada componente dessa função se comporta quando t se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função separadamente. Isso porque o limite de uma função vetorial existe se e somente se o limite de cada uma das suas componentes existir.

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente: ln t. Sabemos que o logaritmo natural ln t está definido apenas para t > 0. Quando t se aproxima de 0 por valores positivos, ln t tende a -infty. Isso significa que essa parte do limite não está se aproximando de um número real finito.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente: raizt^2+1. Aqui, à medida que t se aproxima de 0, t^2 também se aproxima de 0. Então, raiz0 + 1 = raiz1 = 1. Portanto, essa componente está se aproximando de 1.

Passo 5

Por fim, temos a terceira componente: t - 3. Quando t se aproxima de 0, t se torna insignificante em comparação com 3. Assim, 0 - 3 = -3. Portanto, essa componente está se aproximando de -3.

Passo 6

Agora, juntando tudo, temos que:
  • A primeira componente tende a -infty.
  • A segunda componente tende a 1.
  • A terceira componente tende a -3.
Para que o limite da função vetorial exista, todas as componentes precisam ter limites finitos e iguais. No nosso caso, uma das componentes está tendendo a -infty, o que significa que o limite total não existe.

Resposta

O limite lim t 0(ln t, raizt^2+1, t-3) não existe.

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