Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que verificar se o limite existe para a função vetorial
e, se existir, calcular esse limite. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada componente dessa função se comporta quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da função separadamente. Isso porque o limite de uma função vetorial existe se e somente se o limite de cada uma das suas componentes existir.
Passo 3
Vamos começar com a primeira componente:
. Sabemos que o logaritmo natural
está definido apenas para
. Quando
se aproxima de 0 por valores positivos,
tende a
. Isso significa que essa parte do limite não está se aproximando de um número real finito.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente:
. Aqui, à medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Então,
. Portanto, essa componente está se aproximando de 1.
Passo 5
Por fim, temos a terceira componente:
. Quando
se aproxima de 0,
se torna insignificante em comparação com 3. Assim,
. Portanto, essa componente está se aproximando de -3.
Passo 6
Agora, juntando tudo, temos que:
- A primeira componente tende a
. - A segunda componente tende a 1.
- A terceira componente tende a -3.
Para que o limite da função vetorial exista, todas as componentes precisam ter limites finitos e iguais. No nosso caso, uma das componentes está tendendo a
, o que significa que o limite total não existe.
Resposta
O limite
não existe.
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para quais
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, (ii) plano
, (iii) plano
.
Deticrmine o comprimento de arco das seguinte curvas.
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