Verifique se o limite existe. Se existir, calcule-o.
lim t 0(sen tt, cos t, t+1t-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o limite existe e, se existir, calcular ele. A expressão que vamos analisar é:
lim t 0(sin tt, cos t, t+1t-1)
Aqui, temos três funções dentro de um parênteses, então vamos tratar cada uma separadamente. Para resolver isso, vamos precisar do conhecimento sobre limites básicos e algumas propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de sin tt quando t se aproxima de 0. Esse é um limite muito conhecido e fundamental em cálculo. A propriedade diz que:
limt to 0 sin tt = 1
Isso porque, conforme t se aproxima de 0, sin t se comporta muito parecido com t.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo componente: cos t. Queremos encontrar:
limt to 0 cos t
Sabemos que a função cosseno é contínua em todos os pontos, o que significa que podemos simplesmente substituir t por 0:
cos 0 = 1

Passo 4

Por último, vamos analisar o terceiro componente: t+1t-1. Vamos calcular o limite quando t se aproxima de 0:
limt to 0 t+1t-1 = 0+10-1 = 1-1 = -1
Aqui, substituímos diretamente t por 0 porque não há indeterminação nesse caso.

Resposta

O limite existe e é igual a (1, 1, -1).

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