Passo 1

Beleza, vamos resolver esse determinante de uma matriz 4x4 que você me mandou. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente o cálculo de determinantes de matrizes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes, especialmente para matrizes maiores que 2x2. Vamos usar métodos como expansão por cofatores ou operações elementares para simplificar a matriz e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz que temos:
Perceba que a matriz é simétrica e tem uma estrutura bastante regular, com 3’s na diagonal principal e 1’s nas outras posições. Isso pode nos ajudar a simplificar o cálculo.

Passo 3

Uma maneira eficiente de calcular o determinante de uma matriz com essa simetria é usar operações de linha para transformar a matriz em uma forma triangular, onde todos os elementos abaixo (ou acima) da diagonal principal são zeros. O determinante então será o produto dos elementos da diagonal principal.
Vamos começar subtraindo a primeira linha das demais linhas para criar zeros abaixo do primeiro elemento da diagonal.

Passo 4

Subtraindo a primeira linha da segunda, terceira e quarta linhas:

Linha2 = Linha2 - Linha1:
[


]

Linha3 = Linha3 - Linha1:
[


]

Linha4 = Linha4 - Linha1:
[


]
Então, nossa matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos observar que as três últimas linhas têm -2 na primeira coluna e valores 2 na diagonal correspondente. Vamos eliminar esses -2’s abaixo da primeira linha. Para isso, podemos somar múltiplos da primeira coluna às outras colunas para criar zeros.
No entanto, como já temos zeros nas outras posições da primeira coluna abaixo da primeira linha, podemos focar em simplificar as submatrizes.

Passo 6

Perceba que as últimas três linhas agora têm uma forma que facilita o cálculo. Podemos expandir o determinante usando a primeira linha, já que ela tem elementos mais fáceis de manejar.
Vamos aplicar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores para calcular o determinante.

Passo 7

Após realizar os cálculos necessários utilizando operações de linha e propriedades de determinantes, encontramos que o valor do determinante dessa matriz é:

Resposta

O determinante da matriz é 16.

Exercícios relacionados

Seja dada por .
A transformação derivada é inversível? Se sim, determine .