Seja dada por .
A transformação derivada é inversível? Se sim, determine .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear que leva polinômios de grau no máximo 3 ( ) para polinômios de grau no máximo 2 ( ). A transformação é definida como a derivada de um polinômio, ou seja, . O conteúdo principal aqui envolve transformações lineares e derivadas de polinômios. Para resolver, vamos precisar entender se essa transformação é inversível, ou seja, se existe uma transformação que “desfaz” a derivada.

Passo 2

Para verificar se é inversível, precisamos analisar se é injetora (ou seja, se cada saída vem de uma única entrada) e sobrejetora (se todas as possíveis saídas são alcançadas por alguma entrada).
Primeiro, vamos verificar se é injetora. A transformação é injetora se o núcleo de contém apenas o vetor zero. O núcleo de , , é o conjunto de todos os polinômios tais que . Isso significa que deve ser uma constante, pois a derivada de uma constante é zero. Portanto, não contém apenas o vetor zero, mas todos os polinômios constantes.

Passo 3

Como não é trivial (não contém apenas o vetor zero), isso significa que não é injetora. Sendo assim, não tem uma inversa em todo o domínio, porque há diferentes polinômios em que derivam para o mesmo polinômio em .
Além disso, mesmo que fosse injetora, poderíamos precisar verificar se é sobrejetora para garantir a inversibilidade, mas já com a falta de injetividade, sabemos que não é inversível.

Resposta

Não, a transformação derivada não é inversível.

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Seja dada por .
Sejam e bases de e , respectivamente. Determine a matriz mudança de base em , da base para a base canônica. Determine a matriz mudança de base em , da base canônica para a base .