Seja
dada por
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A transformação derivada é inversível? Se sim, determine
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A transformação derivada é inversível? Se sim, determine
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear
que leva polinômios de grau no máximo 3 (
) para polinômios de grau no máximo 2 (
). A transformação
é definida como a derivada de um polinômio, ou seja,
. O conteúdo principal aqui envolve transformações lineares e derivadas de polinômios. Para resolver, vamos precisar entender se essa transformação é inversível, ou seja, se existe uma transformação que “desfaz” a derivada.
Passo 2
Para verificar se
é inversível, precisamos analisar se
é injetora (ou seja, se cada saída vem de uma única entrada) e sobrejetora (se todas as possíveis saídas são alcançadas por alguma entrada).
Primeiro, vamos verificar se
é injetora. A transformação é injetora se o núcleo de
contém apenas o vetor zero. O núcleo de
,
, é o conjunto de todos os polinômios
tais que
. Isso significa que
deve ser uma constante, pois a derivada de uma constante é zero. Portanto,
não contém apenas o vetor zero, mas todos os polinômios constantes.
Passo 3
Como
não é trivial (não contém apenas o vetor zero), isso significa que
não é injetora. Sendo assim,
não tem uma inversa em todo o domínio, porque há diferentes polinômios em
que derivam para o mesmo polinômio em
.
Além disso, mesmo que
fosse injetora, poderíamos precisar verificar se é sobrejetora para garantir a inversibilidade, mas já com a falta de injetividade, sabemos que
não é inversível.
Resposta
Não, a transformação derivada
não é inversível.