Um Deuteron é um deutério que perdeu seu único elétron, ou seja, é simplesmente o núcleo. A energia total de um Deuteron tem a forma
com
a força de interação,
a massa reduzida do sistema e
uma constante. Calcule o valor da energia do estado fundamental do Deuteron.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um Deuteron, que é o núcleo do deutério sem elétron. A energia total desse Deuteron é dada pela expressão:
Aqui,
representa a força de interação,
é a massa reduzida do sistema,
é a distância, e
é uma constante. O objetivo é calcular a energia do estado fundamental do Deuteron, ou seja, a energia mínima que o sistema pode ter.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre o estado fundamental de partículas em potenciais. Também vamos utilizar métodos de minimização de energia para encontrar o valor mínimo da energia
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos na equação de energia. A primeira parte,
, representa a energia cinética do Deuteron, onde
é o momento e
é a massa reduzida. A segunda parte,
, é a energia potencial devido à interação entre as partículas no núcleo.
Para encontrar a energia do estado fundamental, precisamos encontrar o valor de
que minimiza a energia total
. Isso significa que vamos derivar a expressão de
em relação a
e igualar a derivada a zero para encontrar o ponto de mínimo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Sabemos que a energia cinética depende de
, que por sua vez está relacionado a
através da incerteza de Heisenberg. No entanto, para simplificar, assumiremos que
depende inversamente de
, ou seja,
.
Substituindo
na expressão de energia cinética:
Agora, a energia total fica:
Vamos derivar essa expressão em relação a
:
Passo 4
Para encontrar o mínimo da energia, igualamos a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Essa equação é transcendental e geralmente não tem solução analítica. Portanto, vamos usar uma aproximação para encontrar uma solução qualitativa.
Passo 5
Assumindo que
é aproximadamente igual a
, podemos substituir
na equação:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Resposta
A energia do estado fundamental do Deuteron é aproximadamente:
Exercícios relacionados
Um positrônio é uma espécie (a) Calcule os níveis de energia do positrônio em termos da sua massa reduzida.
(b) Considere que a energia de ligação do positrônio é , e que o elétron e o pósitron se aniquilam dando origem a dois fótons. Calcule a frequência dos fótons emitidos pela aniquilação do positrônio.
© Em relação ao referencial do laboratório o positrônio se move com velocidade . Qual a frequência dos fótons produzidos no referencial do laboratório?
(b) Considere que a energia de ligação do positrônio é
© Em relação ao referencial do laboratório o positrônio se move com velocidade
Qual a incerteza na posição de um elétron de massa de repouso
e velocidade
? Discuta os casos em que
e
.
Se
e
são, respectivamente, o momento, a energia, a massa de repouso e a velocidade de uma partícula, mostre que:
(a) .
(b) Se .
© .
(a)
(b) Se
©
A quantidade
é invariante sob mudança de referencial, mesmo que
e
se transformem de um referencial para outro. Considere o seguinte caso: Uma partícula de massa de repouso
se move com velocidade
na direção
de um referencial
, e um referencial
se move com velocidade
em relação a
. Mostre que
e
, porém
.