Um Deuteron é um deutério que perdeu seu único elétron, ou seja, é simplesmente o núcleo. A energia total de um Deuteron tem a forma
com a força de interação, a massa reduzida do sistema e uma constante. Calcule o valor da energia do estado fundamental do Deuteron.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um Deuteron, que é o núcleo do deutério sem elétron. A energia total desse Deuteron é dada pela expressão:
Aqui, representa a força de interação, é a massa reduzida do sistema, é a distância, e é uma constante. O objetivo é calcular a energia do estado fundamental do Deuteron, ou seja, a energia mínima que o sistema pode ter.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre o estado fundamental de partículas em potenciais. Também vamos utilizar métodos de minimização de energia para encontrar o valor mínimo da energia .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos na equação de energia. A primeira parte, , representa a energia cinética do Deuteron, onde é o momento e é a massa reduzida. A segunda parte, , é a energia potencial devido à interação entre as partículas no núcleo.
Para encontrar a energia do estado fundamental, precisamos encontrar o valor de que minimiza a energia total . Isso significa que vamos derivar a expressão de em relação a e igualar a derivada a zero para encontrar o ponto de mínimo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Sabemos que a energia cinética depende de , que por sua vez está relacionado a através da incerteza de Heisenberg. No entanto, para simplificar, assumiremos que depende inversamente de , ou seja, .
Substituindo na expressão de energia cinética:
Agora, a energia total fica:
Vamos derivar essa expressão em relação a :

Passo 4

Para encontrar o mínimo da energia, igualamos a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:
Essa equação é transcendental e geralmente não tem solução analítica. Portanto, vamos usar uma aproximação para encontrar uma solução qualitativa.

Passo 5

Assumindo que é aproximadamente igual a , podemos substituir na equação:
Simplificando:
Resolvendo para :

Resposta

A energia do estado fundamental do Deuteron é aproximadamente:

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(a) .
(b) Se .
© .
A quantidade é invariante sob mudança de referencial, mesmo que e se transformem de um referencial para outro. Considere o seguinte caso: Uma partícula de massa de repouso se move com velocidade na direção de um referencial , e um referencial se move com velocidade em relação a . Mostre que e , porém .