Um Deuteron é um deutério que perdeu seu único elétron, ou seja, é simplesmente o núcleo. A energia total de um Deuteron tem a forma
E=p^22 M-g^2r e^-rr0
com g^2 a força de interação, M a massa reduzida do sistema e r0 uma constante. Calcule o valor da energia do estado fundamental do Deuteron.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um Deuteron, que é o núcleo do deutério sem elétron. A energia total desse Deuteron é dada pela expressão:
E = p^22 M - g^2r e^-rr0
Aqui, representa a força de interação, é a massa reduzida do sistema, é a distância, e é uma constante. O objetivo é calcular a energia do estado fundamental do Deuteron, ou seja, a energia mínima que o sistema pode ter.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre o estado fundamental de partículas em potenciais. Também vamos utilizar métodos de minimização de energia para encontrar o valor mínimo da energia .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos na equação de energia. A primeira parte, , representa a energia cinética do Deuteron, onde é o momento e é a massa reduzida. A segunda parte, , é a energia potencial devido à interação entre as partículas no núcleo.
Para encontrar a energia do estado fundamental, precisamos encontrar o valor de que minimiza a energia total . Isso significa que vamos derivar a expressão de em relação a e igualar a derivada a zero para encontrar o ponto de mínimo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de dEdr = ddr ( p^22 M - g^2r e^-rr0 ) em relação a p^22 M = hbar^22 M r^2 :
E(r) = hbar^22 M r^2 - g^2r e^-rr0
Sabemos que a energia cinética depende de dEdr = -hbar^2M r^3 + g^2r^2 e^-rr0 (1 + rr0) , que por sua vez está relacionado a através da incerteza de Heisenberg. No entanto, para simplificar, assumiremos que depende inversamente de , ou seja, .
Substituindo na expressão de energia cinética:
Agora, a energia total fica:
Vamos derivar essa expressão em relação a :

Passo 4

Para encontrar o mínimo da energia, igualamos a derivada a zero:
-hbar^2M r^3 + g^2r^2 e^-rr0 (1 + rr0) = 0
Multiplicando ambos os lados por -hbar^2M + g^2 r e^-rr0 (1 + rr0) = 0 :
g^2 r e^-rr0 (1 + rr0) = hbar^2M
Rearranjando:
Essa equação é transcendental e geralmente não tem solução analítica. Portanto, vamos usar uma aproximação para encontrar uma solução qualitativa.

Passo 5

Assumindo que g^2 r0 e^-1 (1 + 1) = hbar^2M é aproximadamente igual a 2 g^2 r0 e^-1 = hbar^2M , podemos substituir g^2 = hbar^22 M r0 e^-1 = hbar^2 e2 M r0 na equação:
Simplificando:
Resolvendo para :

Resposta

A energia do estado fundamental do Deuteron é aproximadamente:
E approx -hbar^2 e2 M r0^2

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