A quantidade E^2-p^2 c^2 é invariante sob mudança de referencial, mesmo que E e p se transformem de um referencial para outro. Considere o seguinte caso: Uma partícula de massa de repouso m0 se move com velocidade u na direção x de um referencial S, e um referencial S^prime se move com velocidade V em relação a S. Mostre que p neq p^prime e E neq E^prime, porém E^2-p^2 c^2=E^prime 2-p^prime 2 c^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma quantidade física, , que permanece a mesma mesmo se mudarmos de referencial. Ou seja, mesmo que a energia ( ) e o momento ( ) mudem quando a gente troca de ponto de vista (referencial), essa combinação deles não muda.
No exercício, temos uma partícula com massa de repouso que se move com velocidade na direção de um referencial . A gente também tem outro referencial que está se movendo com velocidade em relação a . A tarefa é mostrar que o momento e a energia dessa partícula são diferentes nos referenciais e , mas que continua o mesmo nos dois referenciais.
Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas da relatividade para energia e momento. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas da energia e do momento na relatividade especial. A energia total E = gamma m0 c^2 de uma partícula é dada por:
p = gamma m0 u
E o momento gamma = 1raiz1 - u^2c^2 é:
Aqui, é o fator de Lorentz, que depende da velocidade da partícula:
Essas fórmulas mostram como energia e momento dependem da velocidade da partícula.

Passo 3

Agora, vamos considerar o referencial u' = u - V1 - u Vc^2 , que está se movendo com velocidade em relação a . Para achar a velocidade da partícula em , usamos a fórmula de transformação de velocidades da relatividade:
Isso nos dá a velocidade da partícula no novo referencial.

Passo 4

Com a velocidade gamma' = 1raiz1 - u'^2c^2 encontrada, podemos calcular o fator de Lorentz E' = gamma' m0 c^2 para o referencial p' = gamma' m0 u' :
Então, a energia e o momento no referencial são:

Passo 5

Agora, vamos mostrar que E = gamma m0 c^2 e E' = gamma' m0 c^2 e p = gamma m0 u e p' = gamma' m0 u' . Olhando as fórmulas:
Como e são diferentes (porque e são diferentes), então .
Da mesma forma:
Como , e são diferentes, então .

Passo 6

Porém, vamos ver o que acontece com a combinação E^2 - p^2 c^2 = (gamma m0 c^2)^2 - (gamma m0 u)^2 c^2 nos dois referenciais.
Em E^2 - p^2 c^2 = gamma^2 m0^2 c^4 - gamma^2 m0^2 u^2 c^2 = gamma^2 m0^2 c^2 (c^2 - u^2) :
E^2 - p^2 c^2 = m0^2 c^2 (c^2 - u^2)1 - u^2c^2 = m0^2 c^4
Simplificando:
E'^2 - p'^2 c^2 = (gamma' m0 c^2)^2 - (gamma' m0 u')^2 c^2 = m0^2 c^4
Como , substituindo:
Fazendo o mesmo para :

Resposta

Assim, mostramos que e , mas . Ou seja, a quantidade é invariante sob mudança de referencial.

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