A quantidade
é invariante sob mudança de referencial, mesmo que
e
se transformem de um referencial para outro. Considere o seguinte caso: Uma partícula de massa de repouso
se move com velocidade
na direção
de um referencial
, e um referencial
se move com velocidade
em relação a
. Mostre que
e
, porém
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma quantidade física,
, que permanece a mesma mesmo se mudarmos de referencial. Ou seja, mesmo que a energia (
) e o momento (
) mudem quando a gente troca de ponto de vista (referencial), essa combinação deles não muda.
No exercício, temos uma partícula com massa de repouso
que se move com velocidade
na direção
de um referencial
. A gente também tem outro referencial
que está se movendo com velocidade
em relação a
. A tarefa é mostrar que o momento e a energia dessa partícula são diferentes nos referenciais
e
, mas que
continua o mesmo nos dois referenciais.
Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas da relatividade para energia e momento. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas da energia e do momento na relatividade especial. A energia total
de uma partícula é dada por:
E o momento
é:
Aqui,
é o fator de Lorentz, que depende da velocidade da partícula:
Essas fórmulas mostram como energia e momento dependem da velocidade da partícula.
Passo 3
Agora, vamos considerar o referencial
, que está se movendo com velocidade
em relação a
. Para achar a velocidade da partícula
em
, usamos a fórmula de transformação de velocidades da relatividade:
Isso nos dá a velocidade da partícula no novo referencial.
Passo 4
Com a velocidade
encontrada, podemos calcular o fator de Lorentz
para o referencial
:
Então, a energia
e o momento
no referencial
são:
Passo 5
Agora, vamos mostrar que
e
. Olhando as fórmulas:
Como
e
são diferentes (porque
e
são diferentes), então
.
Da mesma forma:
Como
,
e
são diferentes, então
.
Passo 6
Porém, vamos ver o que acontece com a combinação
nos dois referenciais.
Em
:
Simplificando:
Como
, substituindo:
Fazendo o mesmo para
:
Resposta
Assim, mostramos que
e
, mas
. Ou seja, a quantidade
é invariante sob mudança de referencial.
Exercícios relacionados
Se
e
são, respectivamente, o momento, a energia, a massa de repouso e a velocidade de uma partícula, mostre que:
(a) .
(b) Se .
© .
(a)
(b) Se
©
Um Deuteron é um deutério que perdeu seu único elétron, ou seja, é simplesmente o núcleo. A energia total de um Deuteron tem a forma
com
a força de interação,
a massa reduzida do sistema e
uma constante. Calcule o valor da energia do estado fundamental do Deuteron.
Uma barra de comprimento próprio
e paralela ao eixo
de um referencial
se move com velocidade
em relação a
, que por sua vez, se move com velocidade
em relação a um outro referencial
. Encontre o ângulo que a barra faz com o eixo
do referencial
.
A razão entre o momento relativístico e o momento clássico de uma partícula é
. Qual a velocidade dessa partícula?