Um positrônio é uma espécie (a) Calcule os níveis de energia do positrônio em termos da sua massa reduzida.
(b) Considere que a energia de ligação do positrônio é , e que o elétron e o pósitron se aniquilam dando origem a dois fótons. Calcule a frequência dos fótons emitidos pela aniquilação do positrônio.
© Em relação ao referencial do laboratório o positrônio se move com velocidade . Qual a frequência dos fótons produzidos no referencial do laboratório?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre positrônio! A questão está dividida em três partes:
a) Precisamos calcular os níveis de energia do positrônio usando a massa reduzida.
b) Queremos achar a frequência dos fótons emitidos quando o elétron e o pósitron se aniquilam.
c) Precisamos determinar a frequência desses fótons no referencial do laboratório, considerando que o positrônio está em movimento.
Vamos usar conceitos de física quântica e relatividade para resolver cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). O positrônio é um sistema ligado formado por um elétron e um pósitron (a antipartícula do elétron), que têm a mesma massa. Para calcular os níveis de energia desse sistema, usamos a fórmula dos níveis de energia para o átomo de hidrogênio, mas adaptada para a massa reduzida.
A massa reduzida ( ) é dada por:
Como (massa do elétron = massa do pósitron), então:

Passo 3

Agora, os níveis de energia do positrônio são semelhantes aos do hidrogênio e são dados por:
Simplificando, podemos relacionar com o Rydberg:
Onde é a constante de Rydberg para o hidrogênio.

Passo 4

Substituindo a massa reduzida que calculamos:
Então, os níveis de energia do positrônio são metade dos níveis do hidrogênio para o mesmo número quântico .

Passo 5

Passando para a parte (b). Quando o elétron e o pósitron se aniquilam, eles liberam energia na forma de dois fótons. A energia total liberada é igual à energia de ligação do positrônio mais a energia de repouso das partículas.
A energia de repouso de cada partícula é , então a energia total liberada é:
Como é a energia de ligação (negativa), a energia dos fótons é:
Assumindo que é pequeno comparado a , podemos simplificar para:

Passo 6

A frequência dos fótons ( ) está relacionada à energia pelo a equação de Planck:
Então, a frequência é:

Passo 7

Agora, na parte ©, o positrônio está se movendo com velocidade no referencial do laboratório. Isso implica que os fótons emitidos sofrerão um desvio de frequência devido ao efeito Doppler.
A frequência observada ( ) é dada por:
onde .

Passo 8

Substituindo da parte (b) na equação:
Essa é a frequência dos fótons no referencial do laboratório.

Resposta

a) Os níveis de energia do positrônio são dados por:
b) A frequência dos fótons emitidos pela aniquilação do positrônio é:
c) No referencial do laboratório, a frequência dos fótons produzidos é:

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(a) .
(b) Se .
© .