Um positrônio é uma espécie (a) Calcule os níveis de energia do positrônio em termos da sua massa reduzida.
(b) Considere que a energia de ligação do positrônio é
, e que o elétron e o pósitron se aniquilam dando origem a dois fótons. Calcule a frequência dos fótons emitidos pela aniquilação do positrônio.
© Em relação ao referencial do laboratório o positrônio se move com velocidade
. Qual a frequência dos fótons produzidos no referencial do laboratório?
(b) Considere que a energia de ligação do positrônio é
© Em relação ao referencial do laboratório o positrônio se move com velocidade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre positrônio! A questão está dividida em três partes:
a) Precisamos calcular os níveis de energia do positrônio usando a massa reduzida.
b) Queremos achar a frequência dos fótons emitidos quando o elétron e o pósitron se aniquilam.
c) Precisamos determinar a frequência desses fótons no referencial do laboratório, considerando que o positrônio está em movimento.
Vamos usar conceitos de física quântica e relatividade para resolver cada parte.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). O positrônio é um sistema ligado formado por um elétron e um pósitron (a antipartícula do elétron), que têm a mesma massa. Para calcular os níveis de energia desse sistema, usamos a fórmula dos níveis de energia para o átomo de hidrogênio, mas adaptada para a massa reduzida.
A massa reduzida (
) é dada por:
Como
(massa do elétron = massa do pósitron), então:
Passo 3
Agora, os níveis de energia do positrônio são semelhantes aos do hidrogênio e são dados por:
Simplificando, podemos relacionar com o Rydberg:
Onde
é a constante de Rydberg para o hidrogênio.
Passo 4
Substituindo a massa reduzida que calculamos:
Então, os níveis de energia do positrônio são metade dos níveis do hidrogênio para o mesmo número quântico
.
Passo 5
Passando para a parte (b). Quando o elétron e o pósitron se aniquilam, eles liberam energia na forma de dois fótons. A energia total liberada é igual à energia de ligação do positrônio mais a energia de repouso das partículas.
A energia de repouso de cada partícula é
, então a energia total liberada é:
Como
é a energia de ligação (negativa), a energia dos fótons é:
Assumindo que
é pequeno comparado a
, podemos simplificar para:
Passo 6
A frequência dos fótons (
) está relacionada à energia pelo a equação de Planck:
Então, a frequência é:
Passo 7
Agora, na parte ©, o positrônio está se movendo com velocidade
no referencial do laboratório. Isso implica que os fótons emitidos sofrerão um desvio de frequência devido ao efeito Doppler.
A frequência observada (
) é dada por:
onde
.
Passo 8
Substituindo
da parte (b) na equação:
Essa é a frequência dos fótons no referencial do laboratório.
Resposta
a) Os níveis de energia do positrônio são dados por:
b) A frequência dos fótons emitidos pela aniquilação do positrônio é:
c) No referencial do laboratório, a frequência dos fótons produzidos é:
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e velocidade
? Discuta os casos em que
e
.
Usando o modelo atômico de Bohr, calcule os raios das órbitas permitidas e os níveis de energia de um átomo de núcleo de carga
e massa
orbitado por um elétron de carga
e massa
, considerando que o sistema orbite em torno do centro de massa.
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com
a força de interação,
a massa reduzida do sistema e
uma constante. Calcule o valor da energia do estado fundamental do Deuteron.
Se
e
são, respectivamente, o momento, a energia, a massa de repouso e a velocidade de uma partícula, mostre que:
(a) .
(b) Se .
© .
(a)
(b) Se
©