Se
e
são, respectivamente, o momento, a energia, a massa de repouso e a velocidade de uma partícula, mostre que:
(a)
.
(b) Se
.
©
.
(a)
(b) Se
©
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que provar três relações envolvendo momento (
), energia (
), massa de repouso (
) e velocidade (
) de uma partícula. Para isso, vamos usar conceitos de física relativística, como o momento relativístico e a energia total. Vamos precisar das fórmulas para
,
e do fator de Lorentz (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas da física relativística:
- Energia total:
- Momento:
- Fator de Lorentz:
Vamos usar essas expressões para resolver cada parte do exercício.
Passo 3
Parte (a): Mostrar que
Vamos começar dividindo a expressão da energia pela do momento:
Aqui, o
cancela:
Passo 4
Parte (b): Mostrar que se
, então
Se a velocidade
for igual à velocidade da luz
, vamos analisar o fator de Lorentz:
Para que a energia
seja finita, a massa de repouso
precisa ser zero, porque:
Só se
que
permanece finito.
Passo 5
Parte ©: Mostrar que
Vamos substituir
por
na expressão:
Simplificando
:
Sabemos que
, então podemos manipular a expressão para chegar na relação desejada:
Resposta
Através dos passos acima, demonstramos que:
(a) ,
(b) Se , então
, e
© .
(a)
(b) Se
©
Exercícios relacionados
Um Deuteron é um deutério que perdeu seu único elétron, ou seja, é simplesmente o núcleo. A energia total de um Deuteron tem a forma
com
a força de interação,
a massa reduzida do sistema e
uma constante. Calcule o valor da energia do estado fundamental do Deuteron.
Um positrônio é uma espécie (a) Calcule os níveis de energia do positrônio em termos da sua massa reduzida.
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© Em relação ao referencial do laboratório o positrônio se move com velocidade . Qual a frequência dos fótons produzidos no referencial do laboratório?
(b) Considere que a energia de ligação do positrônio é
© Em relação ao referencial do laboratório o positrônio se move com velocidade
A quantidade
é invariante sob mudança de referencial, mesmo que
e
se transformem de um referencial para outro. Considere o seguinte caso: Uma partícula de massa de repouso
se move com velocidade
na direção
de um referencial
, e um referencial
se move com velocidade
em relação a
. Mostre que
e
, porém
.
Uma barra de comprimento próprio
e paralela ao eixo
de um referencial
se move com velocidade
em relação a
, que por sua vez, se move com velocidade
em relação a um outro referencial
. Encontre o ângulo que a barra faz com o eixo
do referencial
.