Se
e
são, respectivamente, o momento, a energia, a massa de repouso e a velocidade de uma partícula, mostre que:
(a)
.
(b) Se
.
©
.
(a)
(b) Se
©
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que provar três relações envolvendo momento (
), energia (
), massa de repouso (
) e velocidade (
) de uma partícula. Para isso, vamos usar conceitos de física relativística, como o momento relativístico e a energia total. Vamos precisar das fórmulas para
,
e do fator de Lorentz (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas da física relativística:
- Energia total:
- Momento:
- Fator de Lorentz:
Vamos usar essas expressões para resolver cada parte do exercício.
Passo 3
Parte (a): Mostrar que
Vamos começar dividindo a expressão da energia pela do momento:
Aqui, o
cancela:
Passo 4
Parte (b): Mostrar que se
, então
Se a velocidade
for igual à velocidade da luz
, vamos analisar o fator de Lorentz:
Para que a energia
seja finita, a massa de repouso
precisa ser zero, porque:
Só se
que
permanece finito.
Passo 5
Parte ©: Mostrar que
Vamos substituir
por
na expressão:
Simplificando
:
Sabemos que
, então podemos manipular a expressão para chegar na relação desejada:
Resposta
Através dos passos acima, demonstramos que:
(a) ,
(b) Se , então
, e
© .
(a)
(b) Se
©