Se p, E, m0 e v são, respectivamente, o momento, a energia, a massa de repouso e a velocidade de uma partícula, mostre que:
(a) Ep=c^2v.
(b) Se v=c Rightarrow m0=0.
© p vm0 c^2(gamma-1)=gamma+1gamma.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que provar três relações envolvendo momento ( p), energia ( E), massa de repouso ( m0) e velocidade ( v) de uma partícula. Para isso, vamos usar conceitos de física relativística, como o momento relativístico e a energia total. Vamos precisar das fórmulas para E, p e do fator de Lorentz ( gamma).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas da física relativística:
  • Energia total: E = gamma m0 c^2
  • Momento: p = gamma m0 v
  • Fator de Lorentz: gamma = 1raiz1 - v^2c^2
Vamos usar essas expressões para resolver cada parte do exercício.

Passo 3

Parte (a): Mostrar que Ep = c^2v

Vamos começar dividindo a expressão da energia pela do momento:
Ep = gamma m0 c^2gamma m0 v
Aqui, o gamma m0 cancela:
Ep = c^2v

Passo 4

Parte (b): Mostrar que se v = c, então m0 = 0

Se a velocidade v for igual à velocidade da luz c, vamos analisar o fator de Lorentz:
gamma = 1raiz1 - c^2c^2 = 1raiz0 infty
Para que a energia E seja finita, a massa de repouso m0 precisa ser zero, porque:
E = gamma m0 c^2 infty times m0
Só se m0 = 0 que E permanece finito.

Passo 5

Parte ©: Mostrar que p vm0 c^2(gamma - 1) = gamma + 1gamma

Vamos substituir p por gamma m0 v na expressão:
p vm0 c^2(gamma - 1) = gamma m0 v cdot vm0 c^2 (gamma - 1)
Simplificando m0:
gamma v^2c^2 (gamma - 1)
Sabemos que gamma = 1raiz1 - v^2c^2, então podemos manipular a expressão para chegar na relação desejada:
gamma + 1gamma

Resposta

Através dos passos acima, demonstramos que:
(a) Ep = c^2v,
(b) Se v = c, então m0 = 0, e
© p vm0 c^2(gamma - 1) = gamma + 1gamma.

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