Qual a incerteza na posição de um elétron de massa de repouso
e velocidade
? Discuta os casos em que
e
.
Passo 1
Vamos resolver a questão que pergunta sobre a incerteza na posição de um elétron com massa de repouso
e velocidade
. Vamos utilizar os conceitos da Mecânica Quântica, especificamente o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que relaciona a incerteza na posição (
) e a incerteza no momento (
) de uma partícula. Para isso, precisaremos entender como a velocidade do elétron afeta sua incerteza na posição.
Passo 2
Primeiro, lembramos o Princípio da Incerteza de Heisenberg:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida (
).
Passo 3
Vamos relacionar a incerteza no momento (
) com a velocidade (
). Sabemos que o momento (
) de uma partícula é dado por:
onde
é o fator de Lorentz.
Passo 4
A incerteza no momento (
) pode ser aproximada pela incerteza na velocidade (
) multiplicada pela massa efetiva:
Para simplificar, consideramos que a incerteza na velocidade está relacionada à velocidade do próprio elétron, então
.
Passo 5
Substituindo
na Inequação de Heisenberg:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, vamos analisar os dois casos:
- Quando
:
Neste caso, a velocidade do elétron é zero. Substituindo
na expressão, temos:
Isso implica que
tende ao infinito, ou seja, a incerteza na posição é extremamente grande.
- Quando
:
Aqui, o elétron está se movendo próximo à velocidade da luz. O fator
tende ao infinito:
Substituindo na expressão da incerteza:
Portanto, a incerteza na posição tende a zero.
Resposta
A incerteza na posição do elétron é infinita quando
e tende a zero quando
.