Qual a incerteza na posição de um elétron de massa de repouso m0 e velocidade beta c ? Discuta os casos em que beta=0 e beta 1.

Passo 1

Vamos resolver a questão que pergunta sobre a incerteza na posição de um elétron com massa de repouso e velocidade . Vamos utilizar os conceitos da Mecânica Quântica, especificamente o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que relaciona a incerteza na posição ( ) e a incerteza no momento ( ) de uma partícula. Para isso, precisaremos entender como a velocidade do elétron afeta sua incerteza na posição.

Passo 2

Primeiro, lembramos o Princípio da Incerteza de Heisenberg:
Aqui, é a constante de Planck reduzida ( ).

Passo 3

Vamos relacionar a incerteza no momento ( p = gamma m0 beta c ) com a velocidade ( ). Sabemos que o momento ( ) de uma partícula é dado por:
onde é o fator de Lorentz.

Passo 4

A incerteza no momento ( De) pode ser aproximada pela incerteza na velocidade ( ) multiplicada pela massa efetiva:
Para simplificar, consideramos que a incerteza na velocidade está relacionada à velocidade do próprio elétron, então .

Passo 5

Substituindo De= hbar2 na Inequação de Heisenberg:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos analisar os dois casos:
  1. Quando De= hbar2 gamma m0 cdot 0 cdot c :
Neste caso, a velocidade do elétron é zero. Substituindo gamma = 1raiz1 - beta^2 infty quando beta 1 na expressão, temos:
Isso implica que tende ao infinito, ou seja, a incerteza na posição é extremamente grande.
  1. Quando :
Aqui, o elétron está se movendo próximo à velocidade da luz. O fator tende ao infinito:
Substituindo na expressão da incerteza:
Portanto, a incerteza na posição tende a zero.

Resposta

A incerteza na posição do elétron é infinita quando e tende a zero quando .

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