Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de papelão de
de largura e
de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto do papelão e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o maior volume que esta caixa poderá ter.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente construir uma caixa retangular a partir de uma folha de papelão que tem 40 cm de largura e 52 cm de comprimento. Para fazer isso, vamos cortar quadrados de cada canto do papelão e dobrar as laterais para cima. Nosso objetivo é encontrar qual o maior volume que essa caixa pode ter. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo de funções, especialmente otimização para encontrar o máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o lado de cada quadrado que vamos cortar de
cm. Ao cortar esses quadrados e dobrar as laterais, as dimensões da base da caixa vão diminuir. Então, a largura da base passa a ser
cm e o comprimento passa a ser
cm. A altura da caixa será exatamente
cm, já que é o tamanho do quadrado que cortamos.
Passo 3
Agora, para encontrar o volume da caixa, multiplicamos a largura, o comprimento e a altura:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 4
Para achar o
que maximiza o volume, precisamos derivar a função
em relação a
e encontrar onde essa derivada é zero.
Primeiro, expandimos a expressão:
Agora, derivamos
:
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Dividindo a equação por 4 para simplificar:
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Verificamos se
cm realmente proporciona um máximo. Podemos observar que para
aumentando além desse valor, o volume diminui, confirmando que encontramos o ponto de máximo.
Resposta
O maior volume que a caixa pode ter é aproximadamente
, o que resulta em aproximadamente 9303 cm³.
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