Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função
. Isso envolve entender como a função se comporta, onde ela cruza os eixos, suas assíntotas e outros pontos importantes. Para isso, vamos precisar saber sobre funções racionais, assíntotas, interceptos e comportamento assintótico.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função se possível. Olhando para
, podemos rearranjar o numerador e o denominador:
Agora, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador para ver se simplificamos algo.
Passo 3
Fatorando o numerador:
Fatorando o denominador:
Então, a função fica:
Passo 4
Observamos que o fator
aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:
Essa simplificação nos ajuda a identificar as assíntotas e o domínio da função.
Passo 5
Vamos determinar o domínio da função original. O domínio são todos os valores de
que não deixam o denominador igual a zero:
Então, o domínio é todos os números reais exceto
e
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os interceptos da função.
Intercepto com o eixo y: A gente calcula
:
Então, o intercepto com o eixo y é
.
Interceptos com o eixo x: São os valores de
que tornam
:
Então, o intercepto com o eixo x também é
.
Passo 7
Vamos determinar as assíntotas.
Assíntota vertical: Ocorre onde o denominador é zero, mas o numerador não zera. Da função simplificada
, temos
como assíntota vertical, porque
não está definida em
.
Assíntota horizontal: Observamos o comportamento para
tendendo ao infinito:
Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 8
Vamos analisar o comportamento da função próximo às assíntotas e aos interceptos.
- Próximo a
, a função tende a ou dependendo do lado por onde a gente se aproxima. - Para
grande positivo ou negativo, a função se aproxima de .
Passo 9
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- O gráfico passa pela origem
. - Há uma assíntota vertical em
. - Há uma assíntota horizontal em
. - Próximo a
, a função tem um ponto de descontinuidade removível, mas como simplificamos, esse ponto está no intercepto.
Resposta
Com base na análise, o esboço do gráfico da função
apresenta:
- Um intercepto na origem
. - Uma assíntota vertical em
. - Uma assíntota horizontal em
. - A função se aproxima de
conforme tende a e tende a próximo de .
O gráfico terá duas ramos separados por
, aproximando-se da linha
e cruzando a origem.
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