Esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender como a função se comporta, onde ela cruza os eixos, suas assíntotas e outros pontos importantes. Para isso, vamos precisar saber sobre funções racionais, assíntotas, interceptos e comportamento assintótico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função se possível. Olhando para , podemos rearranjar o numerador e o denominador:
Agora, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador para ver se simplificamos algo.

Passo 3

Fatorando o numerador:
Fatorando o denominador:
Então, a função fica:

Passo 4

Observamos que o fator aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:
Essa simplificação nos ajuda a identificar as assíntotas e o domínio da função.

Passo 5

Vamos determinar o domínio da função original. O domínio são todos os valores de que não deixam o denominador igual a zero:
Então, o domínio é todos os números reais exceto e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os interceptos da função.
Intercepto com o eixo y: A gente calcula :
Então, o intercepto com o eixo y é .
Interceptos com o eixo x: São os valores de que tornam :
Então, o intercepto com o eixo x também é .

Passo 7

Vamos determinar as assíntotas.
Assíntota vertical: Ocorre onde o denominador é zero, mas o numerador não zera. Da função simplificada , temos como assíntota vertical, porque não está definida em .
Assíntota horizontal: Observamos o comportamento para tendendo ao infinito:
Então, a assíntota horizontal é .

Passo 8

Vamos analisar o comportamento da função próximo às assíntotas e aos interceptos.
  • Próximo a , a função tende a ou dependendo do lado por onde a gente se aproxima.
  • Para grande positivo ou negativo, a função se aproxima de .

Passo 9

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • O gráfico passa pela origem .
  • Há uma assíntota vertical em .
  • Há uma assíntota horizontal em .
  • Próximo a , a função tem um ponto de descontinuidade removível, mas como simplificamos, esse ponto está no intercepto.

Resposta

Com base na análise, o esboço do gráfico da função apresenta:
  • Um intercepto na origem .
  • Uma assíntota vertical em .
  • Uma assíntota horizontal em .
  • A função se aproxima de conforme tende a e tende a próximo de .
O gráfico terá duas ramos separados por , aproximando-se da linha e cruzando a origem.

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