Esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos trabalhar com a função . Nosso objetivo aqui é desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais, identificar suas características principais como domínio, assíntotas, interceptos e comportamento geral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar nossa análise. Observando , podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Isso ajuda a visualizar melhor como a função se comporta.

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando a função simplificada , vemos que não podemos dividir por zero. Portanto, não pode ser igual a zero:
í

Passo 4

Em seguida, vamos identificar as assíntotas. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Para tendendo ao infinito positivo ou negativo, o termo se aproxima de zero, então:
Isso nos dá uma assíntota horizontal em . Além disso, como não pode ser zero, temos uma assíntota vertical em .

Passo 5

Vamos encontrar os interceptos com os eixos. Para o intercepto com o eixo , colocamos . Mas, como vimos, não está no domínio da função, então não há intercepto com o eixo .
Para encontrar o intercepto com o eixo , colocamos :
Isso não tem solução real, então a função não intercepta o eixo .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função para valores positivos e negativos de . Como é sempre positivo, também é positivo. Portanto, é sempre maior que 1 para todos os no domínio.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico. Temos uma assíntota horizontal em e uma assíntota vertical em . A função está acima da linha para todos os e nunca cruza os eixos. O gráfico se aproxima das assíntotas conforme se afasta do zero.

Resposta

O gráfico de é uma curva que está sempre acima da linha horizontal , com uma assíntota vertical em . Ele se aproxima dessas assíntotas conforme tende ao infinito positivo ou negativo, mas nunca as toca.

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