Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos trabalhar com a função
. Nosso objetivo aqui é desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais, identificar suas características principais como domínio, assíntotas, interceptos e comportamento geral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar nossa análise. Observando
, podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Isso ajuda a visualizar melhor como a função se comporta.
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Olhando a função simplificada
, vemos que não podemos dividir por zero. Portanto,
não pode ser igual a zero:
Passo 4
Em seguida, vamos identificar as assíntotas. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Para
tendendo ao infinito positivo ou negativo, o termo
se aproxima de zero, então:
Isso nos dá uma assíntota horizontal em
. Além disso, como
não pode ser zero, temos uma assíntota vertical em
.
Passo 5
Vamos encontrar os interceptos com os eixos. Para o intercepto com o eixo
, colocamos
. Mas, como vimos,
não está no domínio da função, então não há intercepto com o eixo
.
Para encontrar o intercepto com o eixo
, colocamos
:
Isso não tem solução real, então a função não intercepta o eixo
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função para valores positivos e negativos de
. Como
é sempre positivo,
também é positivo. Portanto,
é sempre maior que 1 para todos os
no domínio.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico. Temos uma assíntota horizontal em
e uma assíntota vertical em
. A função está acima da linha
para todos os
e nunca cruza os eixos. O gráfico se aproxima das assíntotas conforme
se afasta do zero.
Resposta
O gráfico de
é uma curva que está sempre acima da linha horizontal
, com uma assíntota vertical em
. Ele se aproxima dessas assíntotas conforme
tende ao infinito positivo ou negativo, mas nunca as toca.
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