Seja
.
(b) Determine a inclinação da superfície
na direção
no ponto
.
(b) Determine a inclinação da superfície
Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar a inclinação da superfície dada pela função
na direção
no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda quando mudamos uma variável enquanto a outra permanece fixa.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa "inclinação na direção
". Isso é basicamente a taxa de variação da função
quando mudamos apenas o valor de
, mantendo
constante. Matematicamente, isso é dado pela derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. A função é:
Para derivar em relação a
, tratamos
como uma constante. Assim:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a derivada parcial, vamos avaliar essa derivada no ponto específico
. Substituindo
e
na expressão
:
Resposta
A inclinação da superfície na direção
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Seja
.
(a) Determine a inclinação da superfície na direção
no ponto
.
(a) Determine a inclinação da superfície
Seja
. Determine
.
Seja
.
© Determine a equação do plano tangente a superfície no ponto
.
© Determine a equação do plano tangente a superfície
Deve-se construir uma caixa retangular fechada de
de volume. Se o custo por metro quadrado do material para os lados, o fundo e a tampa é $200,00, $400,00 e $ 300,00, respectivamente, ache as dimensões que minimizam o custo.