Seja f(x, y) = x^2 * y + 5 * y^3.
(b) Determine a inclinação da superfície z = f(x, y) na direção y no ponto (1, -2).

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontrar a inclinação da superfície dada pela função na direção no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda quando mudamos uma variável enquanto a outra permanece fixa.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa "inclinação na direção ". Isso é basicamente a taxa de variação da função quando mudamos apenas o valor de , mantendo constante. Matematicamente, isso é dado pela derivada parcial de em relação a , denotada por .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . A função é:
Para derivar em relação a , tratamos como uma constante. Assim:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a derivada parcial, vamos avaliar essa derivada no ponto específico . Substituindo e na expressão :

Resposta

A inclinação da superfície na direção no ponto é .

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Seja f(x, y) = x^2 * y + 5 * y^3.
(a) Determine a inclinação da superfície z = f(x, y) na direção x no ponto (1, -2).
Seja f(x, y) = y^2 * e^(x+y) + 3 * x^2 * y. Determine fxy.
Seja f(x, y) = x^2 * y + 5 * y^3.
© Determine a equação do plano tangente a superfície z = f(x, y) no ponto (1, -2).
Deve-se construir uma caixa retangular fechada de 2 m^3 de volume. Se o custo por metro quadrado do material para os lados, o fundo e a tampa é $200,00, $400,00 e $ 300,00, respectivamente, ache as dimensões que minimizam o custo.