Deve-se construir um tanque de aço, para armazenagem de gás propano, na forma de um cilindro circular reto de 10 cm de altura, com um hemisfério em cada extremidade. O raio
deve ser ainda determinado. Expresse o volume
do tanque como função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente calcular o volume de um tanque de aço que tem a forma de um cilindro bem direto, com altura de 10 cm, e com uma meia-esfera em cada extremidade. O conteúdo que a gente vai usar aqui é de geometria, especificamente as fórmulas de volume para cilindros e esferas. Vamos precisar lembrar dessas fórmulas para montar a função do volume em termos do raio
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do cilindro. A fórmula para o volume de um cilindro é:
Aqui,
é o raio da base do cilindro e
é a altura. No nosso caso, a altura
é 10 cm, então substituindo:
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume das duas meio-esferas nas extremidades. Primeiro, lembrando que a fórmula para o volume de uma esfera completa é:
Como cada extremidade tem uma meia-esfera, o volume de uma meia-esfera é metade disso:
Como temos duas meio-esferas, o volume total das meio-esferas é:
Passo 4
Agora, para encontrar o volume total do tanque, basta somar o volume do cilindro com o volume das duas meio-esferas:
Podemos simplificar ainda mais colocando
em evidência:
Resposta
A função que expressa o volume do tanque em termos do raio
é:
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Encontre a inversa de:
.
Usando a definição de limite, mostre que:
Para quais valores da constante k a função f é contínua em
?
(b)
(b)
Usando a definição de limite, mostre que: