Usando a definição de limite, mostre que:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar a definição de limite para mostrar que, quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
), o valor de
tende a 0. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de limite e a definição formal que relaciona
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso problema, precisamos provar que para todo
, existe um
tal que, se
, então
. Simplificando, isso significa que
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a inequação
. Elevando ambos os lados ao quadrado (como
), obtemos:
Isso implica:
Passo 5
Para garantir que
está se aproximando de 1 pela esquerda, precisamos que
esteja entre
e 1. Comparando com a inequação que obtivemos, podemos escolher
. Assim, se
, então:
Passo 6
Portanto, para qualquer
, escolhemos
. Com essa escolha de
, sempre que
, teremos
, o que confirma a definição de limite.
Resposta
Assim, mostramos que
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Encontre:
.
Encontre a inversa de:
.
Deve-se construir um tanque de aço, para armazenagem de gás propano, na forma de um cilindro circular reto de 10 cm de altura, com um hemisfério em cada extremidade. O raio
deve ser ainda determinado. Expresse o volume
do tanque como função de
.