Usando a definição de limite, mostre que:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar a definição de limite para mostrar que, quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ), o valor de tende a 0. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de limite e a definição formal que relaciona e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que se, para todo , existe um tal que, sempre que , então . No nosso caso, , e .

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso problema, precisamos provar que para todo , existe um tal que, se , então . Simplificando, isso significa que .

Passo 4

Agora, vamos resolver a inequação . Elevando ambos os lados ao quadrado (como ), obtemos:
Isso implica:

Passo 5

Para garantir que está se aproximando de 1 pela esquerda, precisamos que esteja entre e 1. Comparando com a inequação que obtivemos, podemos escolher . Assim, se , então:

Passo 6

Portanto, para qualquer , escolhemos . Com essa escolha de , sempre que , teremos , o que confirma a definição de limite.

Resposta

Assim, mostramos que .

Exercícios relacionados

Sejam e . Encontre: .
Encontre a inversa de: .
Deve-se construir um tanque de aço, para armazenagem de gás propano, na forma de um cilindro circular reto de 10 cm de altura, com um hemisfério em cada extremidade. O raio deve ser ainda determinado. Expresse o volume do tanque como função de .