Para quais valores da constante k a função f é contínua em
?
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta para quais valores da constante
a função
é contínua em todo o conjunto dos números reais
.
Matéria envolvida: Continuidade de funções, limites.
O que precisamos: Verificar a continuidade da função
no ponto onde a definição dela muda, que neste caso é em
. Para isso, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2 e igualar esse limite ao valor de
, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de 2. A função para
e
é dada por:
Para encontrar
, podemos tentar substituir diretamente
, mas percebemos que teremos uma indeterminação do tipo
. Então, precisamos simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos racionalizar o numerador, multiplicando e dividindo pela expressão conjugada:
Isso nos dá:
Passo 4
Simplificando o numerador:
Então, a função fica:
Passo 5
Podemos cancelar o termo
no numerador e denominador, desde que
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 2:
Substituindo
:
Então:
Passo 7
Para que a função
seja contínua em
, o limite que acabamos de calcular deve ser igual ao valor da função em
, que é
:
Resposta
O valor de
que torna a função
contínua em todo o conjunto dos números reais é
.