Para quais valores da constante k a função f é contínua em (-infinito, infinito) ?
(b) f(x) = { (raiz(7x + 2) - raiz(6x + 4)) / (x - 2), se x ≥ 2/7 e x ≠ 2; k, se x = 2 }

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta para quais valores da constante a função é contínua em todo o conjunto dos números reais .
Matéria envolvida: Continuidade de funções, limites.
O que precisamos: Verificar a continuidade da função no ponto onde a definição dela muda, que neste caso é em . Para isso, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2 e igualar esse limite ao valor de , que é .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2. A função para e é dada por:
Para encontrar , podemos tentar substituir diretamente , mas percebemos que teremos uma indeterminação do tipo . Então, precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos racionalizar o numerador, multiplicando e dividindo pela expressão conjugada:
Isso nos dá:

Passo 4

Simplificando o numerador:
Então, a função fica:

Passo 5

Podemos cancelar o termo no numerador e denominador, desde que :

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 2:
Substituindo :
Então:

Passo 7

Para que a função seja contínua em , o limite que acabamos de calcular deve ser igual ao valor da função em , que é :

Resposta

O valor de que torna a função contínua em todo o conjunto dos números reais é .

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