Encontre a inversa de: f(x) = x^2 / (x^2 + 1), x > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa aqui é encontrar a função inversa de para . Isso está ligado ao conteúdo de funções inversas, onde basicamente a gente troca e e resolve a equação para achar a nova função.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função substituindo por :
Isso facilita para a gente visualizar e trabalhar na hora de encontrar a inversa.

Passo 3

Agora, nosso objetivo é resolver essa equação para em termos de . Ou seja, queremos isolar . Vamos começar multiplicando ambos os lados da equação por para eliminar o denominador:

Passo 4

Expandindo o lado esquerdo:
Agora, vamos trazer todos os termos com para um lado da equação:
Fatorando :
Simplificando os sinais:

Passo 5

Agora, isolamos :
Como estamos lidando com , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Resposta

A função inversa de , para , é:

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