Qual deve ser o valor de m para que os pontos e pertençam à mesma reta?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de de forma que os pontos , e estejam alinhados na mesma reta. Estamos lidando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como verificar se três pontos são colineares, ou seja, se estão na mesma linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa três pontos estarem na mesma reta no espaço tridimensional. Três pontos , e são colineares se os vetores e forem paralelos. Isso quer dizer que um vetor é múltiplo do outro. Matemáticamente, existe um número tal que:
Vamos calcular esses vetores.
Passo 3
Calculando o vetor AB = B - A = (1 - 3, 1 - m, -1 - 1) = (-2, 1 - m, -2) :
AC = C - A = (-2 - 3, 10 - m, -4 - 1) = (-5, 10 - m, -5)
E o vetor :
Agora, comparamos as componentes desses vetores.
Passo 4
Segundo a condição de paralelismo, devemos ter:
-2 = lambda cdot (-5) 1 - m = lambda cdot (10 - m) -2 = lambda cdot (-5)
Vamos resolver a primeira equação para encontrar -2 = lambda cdot (-5) implies lambda = -2-5 = 25 :
Passo 5
Com o valor de 1 - m = 25 cdot (10 - m) , substituímos na segunda equação para encontrar :
Vamos resolver essa equação passo a passo.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados da equação por 5 para eliminar o denominador:
5(1 - m) = 2(10 - m) implies 5 - 5m = 20 - 2m
Agora, vamos isolar .
Passo 7
Subtraindo -5m = 15 - 2m de ambos os lados:
-3m = 15
Adicionando m = 15-3 = -5 em ambos os lados:
Finalmente, dividindo por :
Resposta
O valor de que faz com que os pontos , e estejam na mesma reta é .