Qual deve ser o valor de k para que o polinômio P(x)=(k^2-81) x^5+(k-9) x^4+k x^3+3 x^2-4 x tenha grau 3 ?
A) -1
B) 3
C) -3
D) pm 9
E) 9

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um polinômio e queremos descobrir o valor de que faz com que o grau desse polinômio seja 3. Para isso, precisamos lembrar que o grau de um polinômio é o maior expoente de com coeficiente não nulo. Portanto, para que o grau seja 3, os coeficientes das potências maiores que 3 (ou seja, e ) devem ser iguais a zero. Vamos precisar usar conceitos de álgebra sobre polinômios e resolução de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que o coeficiente de k^2 - 81 = 0 seja zero. Esse coeficiente é . Então, temos a equação:

Passo 3

Vamos resolver a equação k^2 = 81 :
k = pm 9
Isso significa que pode ser 9 ou -9 para que o coeficiente de seja zero.

Passo 4

Agora, precisamos garantir que o coeficiente de k - 9 = 0 também seja zero. Esse coeficiente é . Então, temos a equação:

Passo 5

Resolvendo a equação k = 9 :
Isso significa que deve ser 9 para que o coeficiente de seja zero.

Resposta

Considerando as duas condições, deve ser 9 para que ambos os coeficientes de e sejam zero, garantindo que o grau do polinômio seja 3. Portanto, a resposta correta é:
E) 9

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