(Pucrj 2014) Sabendo que 1 é raiz do polinômio p(x)=2 x^3-a x^2-2 x, podemos afirmar que p(x) é igual a:
a) 2 x^2(x-2)
b) 2 x(x-1)(x+1)
c) 2 x(x^2-2)
d) x(x-1)(x+1)
e) x(2 x^2-2 x-1)

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no enunciado: sabemos que é raiz do polinômio . Nosso objetivo aqui é descobrir qual das alternativas representa corretamente o polinômio .
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de teoria sobre polinômios e raízes. Quando sabemos que um certo número é raiz de um polinômio, isso significa que, se substituirmos esse número na função polinomial, o resultado será zero. Vamos usar isso para encontrar o valor de e, em seguida, fatorar o polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o fato de que p(1) = 2(1)^3 - a(1)^2 - 2(1) = 0 é uma raiz de 2(1) - a(1) - 2 = 0 2 - a - 2 = 0 -a = 0 a = 0 . Isso significa que . Vamos substituir por na equação do polinômio:
Simplificando:
Então, descobrimos que .

Passo 3

Agora que sabemos que p(x) = 2x^3 - 0x^2 - 2x = 2x^3 - 2x , podemos substituir esse valor de volta no polinômio original:
2x^3 - 2x = 2x(x^2 - 1)
Vamos fatorar esse polinômio para ver qual das alternativas corresponde a ele. Podemos fatorar x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) da seguinte maneira:
2x(x^2 - 1) = 2x(x - 1)(x + 1)
Perceba que é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Então, substituindo de volta:

Resposta

A alternativa correta é a b) .

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