Usando a trasformada de Laplace, resolva o seguinte problema ao valor inicia
y'' + y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 0
onde
f(t) = { 0, t <= 2; t, t > 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. Temos a equação com condições iniciais e . Aqui, é uma função que vale 0 para e para . Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e lidar com funções definidas por partes usando a função degrau unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de é . Como e , a expressão simplifica para . A Transformada de Laplace de é simplesmente .
Então, aplicando a Transformada de Laplace na equação:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a Transformada de Laplace de . A função é definida por partes:
Podemos escrever isso usando a função degrau unitário , que é 0 para e 1 para . Então, .
A Transformada de Laplace de é . Portanto,

Passo 4

Voltando à equação transformada:
Podemos fatorar :
Agora, isolamos :

Passo 5

Para encontrar , precisamos fazer a Transformada de Laplace inversa de :
Primeiro, vamos considerar a parte sem o termo :
Podemos decompor em frações parciais:
Resolvendo para A, B, C e D, encontramos:
Então,

Passo 6

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa a cada termo:
Então,

Passo 7

Agora, consideramos o termo . A propriedade da Transformada de Laplace nos diz que multiplicar por corresponde a um atraso no tempo. Portanto,
Aplicando isso ao nosso caso:

Resposta

A solução da equação diferencial é

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