Usando a trasformada de Laplace, resolva o seguinte problema ao valor inicia
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. Temos a equação
com condições iniciais
e
. Aqui,
é uma função que vale 0 para
e
para
. Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e lidar com funções definidas por partes usando a função degrau unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de
é
. Como
e
, a expressão simplifica para
. A Transformada de Laplace de
é simplesmente
.
Então, aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a Transformada de Laplace de
. A função
é definida por partes:
Podemos escrever isso usando a função degrau unitário
, que é 0 para
e 1 para
. Então,
.
A Transformada de Laplace de
é
. Portanto,
Passo 4
Voltando à equação transformada:
Podemos fatorar
:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos fazer a Transformada de Laplace inversa de
:
Primeiro, vamos considerar a parte sem o termo
:
Podemos decompor em frações parciais:
Resolvendo para A, B, C e D, encontramos:
Então,
Passo 6
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa a cada termo:
Então,
Passo 7
Agora, consideramos o termo
. A propriedade da Transformada de Laplace nos diz que multiplicar por
corresponde a um atraso no tempo. Portanto,
Aplicando isso ao nosso caso:
Resposta
A solução da equação diferencial é
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(a) .
(a)
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onde
obs