( 1,0 ponto) Dada F(x, y, z) = 2 x^2 y z^3 i + y^2 sen(z) j + x e^(2 z) k. Calcule rot F, div F e nabla( div F).

Passo 1

Então, a gente tem um campo vetorial . A tarefa é calcular o rotacional de (que é o ), a divergente de ( ) e o gradiente da divergente de ( ). Vamos usar cálculo vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de , que também chamamos de . O rotacional de um vetor é dado por:
Vamos identificar , e .

Passo 3

Calculando cada componente do rotacional:
  1. Componente :
Então, a componente é .
  1. Componente :
Então, a componente é .
  1. Componente :
Então, a componente é .

Passo 4

Agora, juntando as componentes, temos:

Passo 5

Vamos calcular a divergente de , que é . A divergente é dada por:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 6

Calculando cada derivada:

Passo 7

Somando tudo:

Passo 8

Agora, vamos calcular o gradiente da divergente de , ou seja, . O gradiente de uma função escalar é dado por:
Aqui, .

Passo 9

Calculando as derivadas parciais:

Passo 10

Assim, o gradiente da divergente de é:

Resposta

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