(
ponto) Dada
. Calcule rot
, div
e
div
.
Passo 1
Então, a gente tem um campo vetorial
. A tarefa é calcular o rotacional de
(que é o
), a divergente de
(
) e o gradiente da divergente de
(
). Vamos usar cálculo vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
, que também chamamos de
. O rotacional de um vetor
é dado por:
Vamos identificar
,
e
.
Passo 3
Calculando cada componente do rotacional:
- Componente
:
Então, a componente
é
.
- Componente
:
Então, a componente
é
.
- Componente
:
Então, a componente
é
.
Passo 4
Agora, juntando as componentes, temos:
Passo 5
Vamos calcular a divergente de
, que é
. A divergente é dada por:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 6
Calculando cada derivada:
Passo 7
Somando tudo:
Passo 8
Agora, vamos calcular o gradiente da divergente de
, ou seja,
. O gradiente de uma função escalar
é dado por:
Aqui,
.
Passo 9
Calculando as derivadas parciais:
Passo 10
Assim, o gradiente da divergente de
é: