Devido a uma força, uma particula de massa de 5 Kg move-se ao longo de um espaço curvo, onde seu vetor posição (com unidade de metro) é dado em função do tempo t (com unidade de segundo) por r(t)=(2 t^3+t) i+(3 t^4-t^2+8) f-12 t^2 k. Ache: (d) a força em qualquer tempo t, e

Passo 1

Vamos resolver um exercício de dinâmica onde precisamos encontrar a força que atua sobre uma partícula em qualquer instante de tempo. O enunciado nos fornece o vetor posição da partícula em função do tempo r(t) e a massa da partícula. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de vetores, derivadas para encontrar velocidade e aceleração, e a Segunda Lei de Newton que relaciona força, massa e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dr(t)dt
Calculando cada componente:
  • Componente i:
    ddt(2t^3 + t) = 6t^2 + 1
  • Componente j:
    ddt(3t^4 - t^2 + 8) = 12t^3 - 2t
  • Componente k:
    ddt(-12t^2) = -24t
Então, a velocidade é:
v(t) = (6t^2 + 1) i + (12t^3 - 2t) j - 24t k

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Calculando cada componente:
  • Componente i:
    ddt(6t^2 + 1) = 12t
  • Componente j:
    ddt(12t^3 - 2t) = 36t^2 - 2
  • Componente k:
    ddt(-24t) = -24
Portanto, a aceleração é:
a(t) = 12t i + (36t^2 - 2) j - 24 k

Passo 4

Finalmente, vamos aplicar a Segunda Lei de Newton, que nos diz que a força é igual à massa multiplicada pela aceleração:
F(t) = m a(t)
Dado que a massa m = 5, kg, substituímos:
F(t) = 5 times [12t i + (36t^2 - 2) j - 24 k]
Simplificando cada componente:
  • Componente i:
    5 times 12t = 60t
  • Componente j:
    5 times (36t^2 - 2) = 180t^2 - 10
  • Componente k:
    5 times (-24) = -120

Resposta

A força em qualquer tempo t é dada por:
F(t) = 60t, i + (180t^2 - 10), j - 120, k, N

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