Devido a uma força, uma particula de massa de 5 Kg move-se ao longo de um espaço curvo, onde seu vetor posição (com unidade de metro) é dado em função do tempo (com unidade de segundo) por . Ache: (d) a força em qualquer tempo

Passo 1

Vamos resolver um exercício de dinâmica onde precisamos encontrar a força que atua sobre uma partícula em qualquer instante de tempo. O enunciado nos fornece o vetor posição da partícula em função do tempo e a massa da partícula. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de vetores, derivadas para encontrar velocidade e aceleração, e a Segunda Lei de Newton que relaciona força, massa e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja:
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Portanto, a aceleração é:

Passo 4

Finalmente, vamos aplicar a Segunda Lei de Newton, que nos diz que a força é igual à massa multiplicada pela aceleração:
Dado que a massa , substituímos:
Simplificando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :

Resposta

A força em qualquer tempo é dada por:

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