Uma particula de massa m=2 Kg move-se de acordo com uma força dependente do tempo t ( t em unidade de segundo) dada por F(t)=24 t^2 i+(36 t-16) jmath- 12 tk (com unidade de Newton). Assumindo que em t=0 s a particula está localizada cm r0=3 imath-jmath+4 k (com unidade de metro) e tem velocidade v0=6 imath+15 jmath-8 k, ache © Determine a aceleração, a velocidade e a posição em t=1 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa 2 kg que está se movendo sob a ação de uma força que depende do tempo. A força é dada por:
F(t) = 24 t^2 i + (36 t - 16) j - 12 t k
Além disso, sabemos que no instante r0 = 3 i - j + 4 k , metros segundos, a posição inicial da partícula é:
v0 = 6 i + 15 j - 8 k , m/s
E a velocidade inicial é:
Queremos determinar a aceleração, a velocidade e a posição da partícula no instante segundo. Para isso, vamos usar as leis da física, especificamente a segunda lei de Newton, que relaciona força, massa e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração da partícula. Pela segunda lei de Newton:
F = m a Rightarrow a(t) = F(t)m
Substituindo os valores dados:
a(t) = 24 t^2 i + (36 t - 16) j - 12 t k2 = 12 t^2 i + (18 t - 8) j - 6 t k

Passo 3

Agora, vamos determinar a velocidade da partícula no tempo v(t) = v0 + integral0^t a(tau) , dtau segundo. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo, somada à velocidade inicial:
integral0^1 12 tau^2 , dtau = 12 [ tau^33 ]0^1 = 12 ( 13 - 0 ) = 4
Vamos calcular essa integral para cada componente:
Para integral0^1 (18 tau - 8) , dtau = 18 [ tau^22 ]0^1 - 8 [ tau ]0^1 = 18 ( 12 ) - 8(1) = 9 - 8 = 1 :
integral0^1 (-6 tau) , dtau = -6 [ tau^22 ]0^1 = -6 ( 12 - 0 ) = -3
Para v(1) = (6 + 4) i + (15 + 1) j + (-8 - 3) k = 10 i + 16 j - 11 k , m/s :
Para :
Assim, a velocidade no instante segundo é:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a posição da partícula no tempo r(t) = r0 + integral0^t v(tau) , dtau segundo. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo, somada à posição inicial:
integral0^1 10 , dtau = 10 tau g|0^1 = 10(1) - 10(0) = 10
Sabemos que a velocidade foi obtida anteriormente, então vamos integrar cada componente:
Para integral0^1 16 , dtau = 16 tau g|0^1 = 16(1) - 16(0) = 16 :
integral0^1 (-11) , dtau = -11 tau g|0^1 = -11(1) - (-11)(0) = -11
Para r(1) = (3 + 10) i + (-1 + 16) j + (4 - 11) k = 13 i + 15 j - 7 k , metros :
Para :
Portanto, a posição no instante segundo é:

Resposta

No instante a(1) = 12(1)^2 i + (18(1) - 8) j - 6(1) k = 12 i + 10 j - 6 k , m/s² segundo, a aceleração, a velocidade e a posição da partícula são:
v(1) = 10 i + 16 j - 11 k , m/s ²
r(1) = 13 i + 15 j - 7 k , metros

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