Uma particula de massa move-se de acordo com uma força dependente do tempo ( em unidade de segundo) dada por 12 tk (com unidade de Newton). Assumindo que em a particula está localizada cm (com unidade de metro) e tem velocidade , ache (a) a velocidade e

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma partícula de massa m = 2 kg que está sujeita a uma força que depende do tempo: F(t) = 24t² i + (36t - 16) j - 12t k (em Newtons). Sabemos também a posição inicial r₀ = 3i - j + 4k (em metros) e a velocidade inicial v₀ = 6i + 15j - 8k (em metros por segundo) no instante t = 0 s. A matéria envolvida aqui é a cinemática e a leis de Newton, especificamente usando a segunda lei que relaciona força, massa e aceleração. Para encontrar a velocidade v(t) da partícula, vamos precisar integrar a aceleração ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração da partícula usando a segunda lei de Newton: F = m·a. Para isolar a aceleração a(t), dividimos a força F(t) pela massa m.

Passo 3

Agora que temos a aceleração a(t), podemos encontrar a velocidade v(t) integrando a aceleração em relação ao tempo. A integral da aceleração dá a velocidade, e usamos a condição inicial de velocidade para encontrar a constante de integração.
Integrando cada componente:

Passo 4

Usamos a condição inicial v₀ = 6i + 15j - 8k para encontrar as constantes de integração Cₓ, Cᵧ e C_z.
Para t = 0:

Passo 5

Substituímos as constantes de integração nas expressões das componentes da velocidade:

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é:

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