Uma particula de massa m=2 Kg move-se de acordo com uma força dependente do tempo t ( t em unidade de segundo) dada por F(t)=24 t^2 i+(36 t-16) jmath- 12 tk (com unidade de Newton). Assumindo que em t=0 s a particula está localizada cm r0=3 imath-jmath+4 k (com unidade de metro) e tem velocidade v0=6 imath+15 jmath-8 k, ache (a) a velocidade e

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma partícula de massa m = 2 kg que está sujeita a uma força que depende do tempo: F(t) = 24t² i + (36t - 16) j - 12t k (em Newtons). Sabemos também a posição inicial r₀ = 3i - j + 4k (em metros) e a velocidade inicial v₀ = 6i + 15j - 8k (em metros por segundo) no instante t = 0 s. A matéria envolvida aqui é a cinemática e a leis de Newton, especificamente usando a segunda lei que relaciona força, massa e aceleração. Para encontrar a velocidade v(t) da partícula, vamos precisar integrar a aceleração ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração da partícula usando a segunda lei de Newton: F = m·a. Para isolar a aceleração a(t), dividimos a força F(t) pela massa m.
a(t) = F(t)m = 24t^2 i + (36t - 16) j - 12t k2 = 12t^2 i + (18t - 8) j - 6t k

Passo 3

Agora que temos a aceleração a(t), podemos encontrar a velocidade v(t) integrando a aceleração em relação ao tempo. A integral da aceleração dá a velocidade, e usamos a condição inicial de velocidade para encontrar a constante de integração.
v(t) = integral a(t) , dt = integral (12t^2 i + (18t - 8) j - 6t k) dt
Integrando cada componente:
vx(t) = integral 12t^2 , dt = 4t^3 + Cx
vy(t) = integral (18t - 8) , dt = 9t^2 - 8t + Cy
vz(t) = integral -6t , dt = -3t^2 + Cz

Passo 4

Usamos a condição inicial v₀ = 6i + 15j - 8k para encontrar as constantes de integração Cₓ, Cᵧ e C_z.
Para t = 0:
vx(0) = 4(0)^3 + Cx = 6 implies Cx = 6
vy(0) = 9(0)^2 - 8(0) + Cy = 15 implies Cy = 15
vz(0) = -3(0)^2 + Cz = -8 implies Cz = -8

Passo 5

Substituímos as constantes de integração nas expressões das componentes da velocidade:
vx(t) = 4t^3 + 6
vy(t) = 9t^2 - 8t + 15
vz(t) = -3t^2 - 8

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é:
v(t) = (4t^3 + 6) i + (9t^2 - 8t + 15) j + (-3t^2 - 8) k (m/s)

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