Uma particula de massa
move-se de acordo com uma força dependente do tempo
(
em unidade de segundo) dada por
12 tk (com unidade de Newton). Assumindo que em
a particula está localizada cm
(com unidade de metro) e tem velocidade
, ache (a) a velocidade e
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma partícula de massa m = 2 kg que está sujeita a uma força que depende do tempo: F(t) = 24t² i + (36t - 16) j - 12t k (em Newtons). Sabemos também a posição inicial r₀ = 3i - j + 4k (em metros) e a velocidade inicial v₀ = 6i + 15j - 8k (em metros por segundo) no instante t = 0 s. A matéria envolvida aqui é a cinemática e a leis de Newton, especificamente usando a segunda lei que relaciona força, massa e aceleração. Para encontrar a velocidade v(t) da partícula, vamos precisar integrar a aceleração ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a aceleração da partícula usando a segunda lei de Newton: F = m·a. Para isolar a aceleração a(t), dividimos a força F(t) pela massa m.
Passo 3
Agora que temos a aceleração a(t), podemos encontrar a velocidade v(t) integrando a aceleração em relação ao tempo. A integral da aceleração dá a velocidade, e usamos a condição inicial de velocidade para encontrar a constante de integração.
Integrando cada componente:
Passo 4
Usamos a condição inicial v₀ = 6i + 15j - 8k para encontrar as constantes de integração Cₓ, Cᵧ e C_z.
Para t = 0:
Passo 5
Substituímos as constantes de integração nas expressões das componentes da velocidade:
Resposta
A velocidade da partícula em função do tempo é: