Devido a uma força, uma particula de massa de 5 Kg move-se ao longo de um espaço curvo, onde seu vetor posição (com unidade de metro) é dado em função do tempo t (com unidade de segundo) por r(t)=(2 t^3+t) i+(3 t^4-t^2+8) f-12 t^2 k. Ache: (b) o momento,

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula de massa 5 kg que está se movendo em um caminho curvo. O vetor posição dela em função do tempo r(t) = (2 t^3 + t) i + (3 t^4 - t^2 + 8) j - 12 t^2 k é dado por:
Nosso objetivo aqui é encontrar o momento da partícula. Para isso, vamos precisar entender o que é momento e como calculá-lo usando a massa e a velocidade da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é momento. Na física, o momento linear p = m cdot v de uma partícula é dado pela fórmula:
Onde:
  • é a massa da partícula.
  • é a velocidade da partícula.
Então, para encontrar o momento, precisamos saber a velocidade da partícula.

Passo 3

A velocidade v(t) = dr(t)dt é a derivada do vetor posição em relação ao tempo . Ou seja:
Vamos calcular essa derivada componente por componente.

Passo 4

Vamos derivar cada componente de ddt(2 t^3 + t) = 6 t^2 + 1 :
  1. Componente ddt(3 t^4 - t^2 + 8) = 12 t^3 - 2 t :
ddt(-12 t^2) = -24 t
  1. Componente :
  1. Componente :

Passo 5

Agora, juntando tudo, a velocidade v(t) = (6 t^2 + 1) i + (12 t^3 - 2 t) j - 24 t k fica:

Passo 6

Com a velocidade em mãos, podemos calcular o momento usando a massa da partícula, que é 5 kg:
p(t) = m cdot v(t) = 5 cdot [(6 t^2 + 1) i + (12 t^3 - 2 t) j - 24 t k]

Passo 7

Multiplicando a massa pela velocidade, obtemos:
p(t) = (30 t^2 + 5) i + (60 t^3 - 10 t) j - 120 t k

Resposta

O momento da partícula é dado por:
p(t) = (30 t^2 + 5) i + (60 t^3 - 10 t) j - 120 t k (kg·m/s)

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