Uma particula de massa m=2 Kg move-se de acordo com uma força dependente do tempo t ( t em unidade de segundo) dada por F(t)=24 t^2 i+(36 t-16) jmath- 12 tk (com unidade de Newton). Assumindo que em t=0 s a particula está localizada cm r0=3 imath-jmath+4 k (com unidade de metro) e tem velocidade v0=6 imath+15 jmath-8 k, ache (b) a posição em qualquer tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma partícula de massa 2 kg que está sob a ação de uma força que depende do tempo. A gente precisa descobrir onde essa partícula está em qualquer tempo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica e cinemática, especialmente as leis de Newton e integrações de aceleração e velocidade. Vamos precisar calcular primeiro a aceleração a partir da força, depois a velocidade e, por fim, a posição da partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração da partícula. Sabemos que a força F(t) = m cdot a(t) está relacionada à massa a(t) = F(t)m e à aceleração a(t) = 24 t^2 i + (36 t -16) j - 12 t k2 = 12 t^2 i + (18 t -8) j - 6 t k pela segunda lei de Newton:
Então, isolando a aceleração:
Dado que e :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade da partícula. Sabemos que a velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = v0 + integral0^t a(tau) , dtau
Substituindo a aceleração que encontramos:
v(t) = v0 + integral0^t (12 tau^2 i + (18 tau -8) j -6 tau k) dtau
Vamos integrar cada componente separadamente:
vx(t) &= v0x + integral0^t 12 tau^2 dtau = 6 + 12 cdot t^33 = 6 + 4 t^3 vy(t) &= v0y + integral0^t (18 tau -8) dtau = 15 + 18 cdot t^22 -8 t = 15 + 9 t^2 -8 t vz(t) &= v0z + integral0^t (-6 tau) dtau = -8 -6 cdot t^22 = -8 -3 t^2
Então, a velocidade em função do tempo é:
v(t) = (6 + 4 t^3) i + (15 + 9 t^2 -8 t) j + (-8 -3 t^2) k

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a posição da partícula em qualquer tempo r(t) = r0 + integral0^t v(tau) , dtau . A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo:
r(t) = r0 + integral0^t (6 + 4 tau^3) i + (15 + 9 tau^2 -8 tau) j + (-8 -3 tau^2) k dtau
Substituindo a velocidade que encontramos:
rx(t) &= r0x + integral0^t (6 + 4 tau^3) dtau = 3 + 6 t + 4 cdot t^44 = 3 + 6 t + t^4 ry(t) &= r0y + integral0^t (15 + 9 tau^2 -8 tau) dtau = -1 + 15 t + 9 cdot t^33 -8 cdot t^22 = -1 + 15 t + 3 t^3 -4 t^2 rz(t) &= r0z + integral0^t (-8 -3 tau^2) dtau = 4 -8 t -3 cdot t^33 = 4 -8 t - t^3
Novamente, vamos integrar cada componente separadamente:
r(t) = (3 + 6 t + t^4) i + (-1 + 15 t -4 t^2 +3 t^3) j + (4 -8 t - t^3) k
Então, a posição da partícula em qualquer tempo é:

Resposta

A posição da partícula em qualquer tempo r(t) = (3 + 6 t + t^4) i + (-1 + 15 t -4 t^2 +3 t^3) j + (4 -8 t - t^3) k é:

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