Devido à grande diferença entre as massas dos átomos em uma molécula de ^1 H^127 I é apropriado pensar no movimento rotacional dessa molécula como no caso do átomo de ^1 H descrevendo uma órbita estacionária em torno do átomo de ^127 I, numa distância de 160pm (comprimento da ligação em equilíbrio).
Qual o valor de energia para os três primeiros níveis rotacionais (em Joule)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a energia dos três primeiros níveis rotacionais de uma molécula de H-¹I-¹²⁷. O que isso quer dizer é que vamos calcular quanta energia essa molécula tem quando gira, considerando que o hidrogênio está girando ao redor do iodo a uma distância de 160 picômetros. Para isso, vamos usar conceitos de física molecular, especificamente sobre energia rotacional de um rotor rígido. Vamos precisar das massas dos átomos, da distância entre eles e das fórmulas que relacionam esses valores com a energia rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a massa reduzida da molécula. A massa reduzida (μ) é uma forma de simplificar o sistema de dois corpos (neste caso, H e I) para um único corpo que se move. A fórmula para a massa reduzida é:
mu = mH cdot mImH + mI
Onde:
  • $ m_H $ é a massa do átomo de hidrogênio.
  • $ m_I $ é a massa do átomo de iodo.
Sabemos que a massa de um átomo de hidrogênio ($ m_H $) é aproximadamente $ 1 , u $ e a do iodo ($ m_I $) é $ 127 , u $, onde $ u $ é a unidade de massa atômica ($ 1 , u = 1,66053906660 \times 10^{-27} , kg $).
Vamos calcular $ \mu $:
mH
Convertendo para kg:
mI

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia (I) da molécula. O momento de inércia para um rotor rígido é dado por:
I = mu cdot r^2
Onde:
  • $ \mu $ é a massa reduzida que calculamos.
  • $ r $ é a distância entre os dois átomos, que é 160 picômetros ($ 160 , pm = 160 \times 10^{-12} , m $).
Vamos calcular $ I $:
mu
Primeiro, calculamos $ r^2 $:
r
Então:
160 , pm = 160 times 10^-12 , m

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da energia rotacional para um rotor rígido:
EJ = J(J + 1) hbar^22I
Onde:
  • $ E_J $ é a energia no nível rotacional $ J $.
  • $ J $ é o número quântico rotacional ($ J = 0, 1, 2, ··· $).
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \hbar = 1,0545718 \times 10^{-34} , J \cdot s $).
  • $ I $ é o momento de inércia que calculamos.
Vamos calcular $ E_J $ para os três primeiros níveis rotacionais: $ J = 1, 2, 3 $.

Passo 5

Vamos calcular cada energia rotacional:
Para $ J = 1 $:
J = 1
Calculando:
E1 = 1(1 + 1) times (1,0545718 times 10^-34)^22 times 4,2159 times 10^-47
Para $ J = 2 $:
E1 = 2 times 1,112121 times 10^-688,4318 times 10^-47 approx 2,224242 times 10^-688,4318 times 10^-47 approx 2,637 times 10^-22 , J
Para $ J = 3 $:
J = 2

Resposta

As energias dos três primeiros níveis rotacionais da molécula de H-¹I-¹²⁷ são aproximadamente:
E1 approx 2,64 times 10^-22 , J
E2 approx 7,91 times 10^-22 , J
E3 approx 1,58 times 10^-21 , J

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