Um fio retilíneo tem seu comprimento definido por L=2 imath-3 jmath+4 widehatk(cm), e está submetido à ação de um campo magnético B=-4 imath-jmath+6 k(T). Sabendo que ele é percorrido por uma corrente de 5A, determine:
a) a força magnética que ele recebe, em coordenadas cartesianas
b) o módulo desta força magnética

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um fio retilíneo com um comprimento dado por L = 2,imath - 3,jmath + 4,k centímetros. Esse fio está imerso em um campo magnético B = -4,imath - jmath + 6,k Tesla e está transportando uma corrente de 5 A. Precisamos determinar:
a) A força magnética que o fio recebe, em coordenadas cartesianas.
b) O módulo dessa força magnética.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Lorentz para fios condutores, que nos dá a força magnética F sobre um fio com corrente em um campo magnético.

Passo 2

A Lei de Lorentz para fios condutores é dada por:
F = I cdot L times B
Onde:
  • I é a corrente elétrica (em Ampères, A).
  • L é o vetor comprimento do fio (em metros, m).
  • B é o campo magnético (em Tesla, T).
  • times representa o produto vetorial entre dois vetores.
Vamos precisar calcular o produto vetorial L times B e, em seguida, multiplicar pelo valor da corrente I.

Passo 3

Primeiro, precisamos garantir que as unidades estejam compatíveis. Nosso vetor comprimento L está em centímetros (cm), e a unidade padrão para comprimento no SI é o metro (m). Vamos converter L para metros:
L = 2,imath - 3,jmath + 4,k, cm = 0,02,imath - 0,03,jmath + 0,04,k, m
Agora, vamos calcular o produto vetorial L times B:
L times B = imath & jmath & k 0,02 & -0,03 & 0,04 -4 & -1 & 6
Calculando o determinante:
L times B = imath cdot (-0,03 cdot 6 - 0,04 cdot (-1)) - jmath cdot (0,02 cdot 6 - 0,04 cdot (-4)) + k cdot (0,02 cdot (-1) - (-0,03) cdot (-4))
Simplificando cada componente:
  • Componente imath:
-0,03 cdot 6 - 0,04 cdot (-1) = -0,18 + 0,04 = -0,14
  • Componente jmath:
0,02 cdot 6 - 0,04 cdot (-4) = 0,12 + 0,16 = 0,28
  • Componente k:
0,02 cdot (-1) - (-0,03) cdot (-4) = -0,02 - 0,12 = -0,14
Então:
L times B = -0,14,imath - 0,28,jmath - 0,14,k , (m·T)

Passo 4

Agora, vamos multiplicar o resultado do produto vetorial pela corrente I = 5,A para encontrar a força magnética F:
F = I cdot (L times B) = 5,A cdot (-0,14,imath - 0,28,jmath - 0,14,k)
Fazendo a multiplicação escalar:
F = -0,7,imath - 1,4,jmath - 0,7,k , N

Passo 5

Para encontrar o módulo da força magnética |F|, usamos a fórmula:
|F| = raizFx^2 + Fy^2 + Fz^2
Substituindo os valores:
|F| = raiz(-0,7)^2 + (-1,4)^2 + (-0,7)^2 = raiz0,49 + 1,96 + 0,49 = raiz2,94 approx 1,714,N

Resposta

a) A força magnética que o fio recebe, em coordenadas cartesianas, é:
F = -0,7,imath - 1,4,jmath - 0,7,k, N
b) O módulo da força magnética é aproximadamente 1,714 N.

Exercícios relacionados