Uma partícula de massa carregada com carga de módulo atravessa um campo magnético constante, definido por , medido em Tesla, com velocidade . Determine:
a) a força magnética atuando na carga nesse instante, supondo-a positiva
b) a força magnética atuando na carga nesse instante, supondo-a negativa
c) o raio da curva que a carga passará a descrever
Dado: força centrípeta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa e carga de que está se movendo em um campo magnético constante dado por (em Tesla). A velocidade da partícula é (em m/s). Precisamos descobrir:
a) A força magnética agindo na carga assumindo que ela é positiva.
b) A força magnética agindo na carga assumindo que ela é negativa.
c) O raio da trajetória que a carga vai descrever.
Vamos usar conceitos de magnetismo e força centrípeta para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a força magnética que atua sobre uma carga em movimento. A fórmula é:
Aqui, é a carga, é a velocidade e é o campo magnético. O símbolo representa o produto vetorial, que nos dá a direção e o sentido da força magnética.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial . Temos:
O produto vetorial é calculado assim:
Resolvendo o determinante:
v times B = imath(1 cdot 1 - (-5) cdot (-2)) - jmath(-4 cdot 1 - (-5) cdot 5) + k(-4 cdot (-2) - 1 cdot 5)
= imath(1 - 10) - jmath(-4 - (-25)) + k(8 - 5)
= imath(-9) - jmath(21) + k(3)
= -9,imath - 21,jmath + 3,k
Passo 4
Agora que temos v times B, vamos calcular a força magnética F usando a carga q = 2,muC = 2 times 10^-6,C:
F = q,v times B = 2 times 10^-6, C times (-9,imath - 21,jmath + 3,k)
= -18 times 10^-6,imath - 42 times 10^-6,jmath + 6 times 10^-6,k, N
= -1.8,times 10^-5,imath - 4.2,times 10^-5,jmath + 6 times 10^-6,k, N
Passo 5
a) A pergunta pede a força magnética assumindo que a carga é positiva. Já calculamos F para q = +2,muC:
F = -1.8 times 10^-5,imath - 4.2 times 10^-5,jmath + 6 times 10^-6,k, N
Passo 6
b) Agora, se a carga fosse negativa, ou seja, q = -2,muC, a força magnética F' seria:
F' = -F = 1.8 times 10^-5,imath + 4.2 times 10^-5,jmath - 6 times 10^-6,k, N
Passo 7
c) Para encontrar o raio da trajetória, usamos a força centrípeta, que mantém a partícula em movimento circular. A fórmula é:
Fc = m v^2r
Onde m é a massa, v é a velocidade e r é o raio. Rearranjando para encontrar r:
r = m v^2Fc
Primeiro, precisamos determinar a magnitude da força magnética F e a velocidade v.
Fc = raiz(-1.8 times 10^-5)^2 + (-4.2 times 10^-5)^2 + (6 times 10^-6)^2 approx raiz3.24 times 10^-10 + 1.76 times 10^-9 + 3.6 times 10^-11 approx 4.31 times 10^-5,N
Agora, calculamos r:
r = m v^2Fc = 5 times 10^-6,kg times (6.48,m/s)^24.31 times 10^-5,N approx 5 times 10^-6 times 41.994.31 times 10^-5 approx 2.0995 times 10^-44.31 times 10^-5 approx 4.87,m
Resposta
a) A força magnética assumindo carga positiva é F = -1.8 times 10^-5,imath - 4.2 times 10^-5,jmath + 6 times 10^-6,k, N.
b) A força magnética assumindo carga negativa é F' = 1.8 times 10^-5,imath + 4.2 times 10^-5,jmath - 6 times 10^-6,k, N.
c) O raio da trajetória que a carga descreverá é aproximadamente 4.87,m.