Escreva as equações de Maxwell nas formas integral e diferencial e indique como elas são modificadas para descrever o campo elétrico e o campo magnético em uma região do espaço onde não existem cargas elétricas nem correntes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever as equações de Maxwell nas formas integral e diferencial. Além disso, vamos ver como elas mudam quando não tem cargas elétricas nem correntes no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especialmente das equações de Maxwell, e entender como simplificar elas nessas condições específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as Equações de Maxwell na forma integral. Elas descrevem como os campos elétrico e magnético se comportam em roscas fechadas ou superfícies fechadas. As quatro equações são:
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Lei de Gauss para o Campo ElétricoIsso relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada à carga total dentro dessa superfície.
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Lei de Gauss para o Campo MagnéticoIsso mostra que não existem monopolos magnéticos; o fluxo magnético total através de qualquer superfície fechada é zero.
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Lei de Faraday da InduçãoRelaciona a variação do fluxo magnético no tempo ao redor de um laço fechado com a circulação do campo elétrico.
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Lei de Ampère-MaxwellConecta a circulação do campo magnético ao fluxo de corrente elétrica e à mudança do fluxo elétrico no tempo.
Passo 3
Agora, vamos para as Equações de Maxwell na forma diferencial. Essas expressam as mesmas ideias, mas usando derivadas para descrever os campos em pontos específicos no espaço:
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Lei de Gauss para o Campo ElétricoIndica que a divergência do campo elétrico em um ponto é proporcional à densidade de carga elétrica nesse ponto.
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Lei de Gauss para o Campo MagnéticoReforça que não há monopolos magnéticos; a divergência do campo magnético é sempre zero.
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Lei de Faraday da InduçãoMostra que a rotação do campo elétrico está relacionada à taxa de variação temporal do campo magnético.
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Lei de Ampère-MaxwellRelaciona a rotação do campo magnético com a densidade de corrente elétrica e a taxa de variação do campo elétrico.
Passo 4
Agora, vamos modificar as equações de Maxwell para uma região onde não existem cargas elétricas (
) nem correntes elétricas (
).
Na forma integral:
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Lei de Gauss para o Campo ElétricoComo não há carga dentro da superfície, o fluxo elétrico total é zero.
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Lei de Gauss para o Campo MagnéticoContinua igual, pois já não há monopolos magnéticos.
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Lei de Faraday da InduçãoPermanece a mesma, pois descreve a relação entre variação do campo magnético e campo elétrico induzido.
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Lei de Ampère-MaxwellAqui, a densidade de corrente
é zero, então sobra apenas o termo de deslocamento de corrente.
Na forma diferencial:
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Lei de Gauss para o Campo ElétricoSem carga elétrica, a divergência do campo elétrico é zero.
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Lei de Gauss para o Campo MagnéticoContinua igual.
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Lei de Faraday da InduçãoSem alteração.
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Lei de Ampère-MaxwellA densidade de corrente
é zero, então apenas o termo de deslocamento de corrente permanece.
Resposta
As Equações de Maxwell, sem cargas elétricas nem correntes, ficam assim:
Forma Integral:
Forma Diferencial: