Escreva as equações de Maxwell nas formas integral e diferencial e indique como elas são modificadas para descrever o campo elétrico e o campo magnético em uma região do espaço onde não existem cargas elétricas nem correntes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever as equações de Maxwell nas formas integral e diferencial. Além disso, vamos ver como elas mudam quando não tem cargas elétricas nem correntes no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especialmente das equações de Maxwell, e entender como simplificar elas nessas condições específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as Equações de Maxwell na forma integral. Elas descrevem como os campos elétrico e magnético se comportam em roscas fechadas ou superfícies fechadas. As quatro equações são:
  1. Lei de Gauss para o Campo Elétrico
    ointpartial V E cdot dA = 1varepsilon0 integralV rho , dV
    Isso relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada à carga total dentro dessa superfície.
  2. Lei de Gauss para o Campo Magnético
    ointpartial V B cdot dA = 0
    Isso mostra que não existem monopolos magnéticos; o fluxo magnético total através de qualquer superfície fechada é zero.
  3. Lei de Faraday da Indução
    ointpartial S E cdot dl = -ddt integralS B cdot dA
    Relaciona a variação do fluxo magnético no tempo ao redor de um laço fechado com a circulação do campo elétrico.
  4. Lei de Ampère-Maxwell
    ointpartial S B cdot dl = mu0 integralS J cdot dA + mu0 varepsilon0 ddt integralS E cdot dA
    Conecta a circulação do campo magnético ao fluxo de corrente elétrica e à mudança do fluxo elétrico no tempo.

Passo 3

Agora, vamos para as Equações de Maxwell na forma diferencial. Essas expressam as mesmas ideias, mas usando derivadas para descrever os campos em pontos específicos no espaço:
  1. Lei de Gauss para o Campo Elétrico
    nabla cdot E = rhovarepsilon0
    Indica que a divergência do campo elétrico em um ponto é proporcional à densidade de carga elétrica nesse ponto.
  2. Lei de Gauss para o Campo Magnético
    nabla cdot B = 0
    Reforça que não há monopolos magnéticos; a divergência do campo magnético é sempre zero.
  3. Lei de Faraday da Indução
    nabla times E = -partial Bpartial t
    Mostra que a rotação do campo elétrico está relacionada à taxa de variação temporal do campo magnético.
  4. Lei de Ampère-Maxwell
    nabla times B = mu0 J + mu0 varepsilon0 partial Epartial t
    Relaciona a rotação do campo magnético com a densidade de corrente elétrica e a taxa de variação do campo elétrico.

Passo 4

Agora, vamos modificar as equações de Maxwell para uma região onde não existem cargas elétricas ( ointpartial V E cdot dA = 0 ) nem correntes elétricas ( ointpartial V B cdot dA = 0 ).
Na forma integral:
  1. Lei de Gauss para o Campo Elétrico
    ointpartial S E cdot dl = -ddt integralS B cdot dA
    Como não há carga dentro da superfície, o fluxo elétrico total é zero.
  2. Lei de Gauss para o Campo Magnético
    ointpartial S B cdot dl = mu0 varepsilon0 ddt integralS E cdot dA
    Continua igual, pois já não há monopolos magnéticos.
  3. Lei de Faraday da Indução
    nabla cdot E = 0
    Permanece a mesma, pois descreve a relação entre variação do campo magnético e campo elétrico induzido.
  4. Lei de Ampère-Maxwell
    nabla cdot B = 0
    Aqui, a densidade de corrente nabla times E = -partial Bpartial t é zero, então sobra apenas o termo de deslocamento de corrente.
Na forma diferencial:
  1. Lei de Gauss para o Campo Elétrico
    nabla times B = mu0 varepsilon0 partial Epartial t
    Sem carga elétrica, a divergência do campo elétrico é zero.
  2. Lei de Gauss para o Campo Magnético
    Continua igual.
  3. Lei de Faraday da Indução
    Sem alteração.
  4. Lei de Ampère-Maxwell
    A densidade de corrente é zero, então apenas o termo de deslocamento de corrente permanece.

Resposta

As Equações de Maxwell, sem cargas elétricas nem correntes, ficam assim:
Forma Integral:
ointpartial V E cdot dA = 0
ointpartial V B cdot dA = 0
ointpartial S E cdot dl = -ddt integralS B cdot dA
ointpartial S B cdot dl = mu0 varepsilon0 ddt integralS E cdot dA
Forma Diferencial:
nabla cdot E = 0
nabla cdot B = 0
nabla times E = -partial Bpartial t
nabla times B = mu0 varepsilon0 partial Epartial t

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