Dez dias após seu lançamento para Marte em dezembro de 1998, a espaçonave Mars Climate Orbiter (com massa de 629 kg) estava a 2,87 times 10^6 km da Terra e se deslocava a 1,20 times 10^4 km / h em relação à Terra. Neste instante, qual era
a. a energia cinética da espaçonave em relação à Terra? Resp.: K=3,49 times 10^9 J
b. a energia potencial do sistema espaçonave-Terra? Resp.: U=8,73 times 10^7 J
c. a energia mecânica da espaçonave em relação à Terra? É positiva ou negativa? O que se pode concluir sobre o sinal da energia mecânica?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Precisamos calcular três tipos de energia da espaçonave Mars Climate Orbiter em relação à Terra:
a. Energia cinética,
b. Energia potencial do sistema espaçonave-Terra,
c. Energia mecânica total, verificando se é positiva ou negativa e o que isso significa.
Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de energia cinética e energia potencial gravitacional, além de realizar os cálculos necessários com os dados fornecidos.

Passo 2

Vamos calcular a energia cinética da espaçonave. A energia cinética ( K = 12 m v^2 ) é dada pela fórmula:
onde:
  • é a massa da espaçonave,
  • é a velocidade relativa à Terra.

Passo 3

Substituímos os valores na fórmula:
  • Massa, v = 1,20 times 10^4 , km/h times 1000 , m1 , km times 1 , h3600 , s = 3,333 times 10^3 , m/s
  • Velocidade, K = 12 times 629 , kg times (3,333 times 10^3 , m/s)^2
Primeiro, convertemos a velocidade para metros por segundo (m/s):
K = 0,5 times 629 times 1,111 times 10^7
Agora, calculamos a energia cinética:
K approx 3,49 times 10^9 , J

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial gravitacional do sistema espaçonave-Terra. A energia potencial gravitacional ( U = -G M mr ) é dada por:
onde:
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa da Terra,
  • é a massa da espaçonave,
  • é a distância entre a Terra e a espaçonave.

Passo 5

Substituímos os valores na fórmula da energia potencial:
U = -6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^24 times 6292,87 times 10^9
Calculando passo a passo:
U = -6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^242,87 times 10^9 times 629
U = -3,986 times 10^142,87 times 10^9 times 629
U approx -8,73 times 10^7 , J
Considerando o valor absoluto, temos:
U = 8,73 times 10^7 , J

Passo 6

Para encontrar a energia mecânica total do sistema, somamos a energia cinética e a energia potencial:
Emecânica = K + U â
Substituindo os valores:
Emecânica = 3,49 times 10^9 , J + 8,73 times 10^7 , J â
Emecânica approx 3,58 times 10^9 , J â
Como o valor é positivo, a energia mecânica é positiva.

Passo 7

Concluímos que a energia mecânica da espaçonave em relação à Terra é positiva, indicando que o sistema possui energia suficiente para escapar da atração gravitacional da Terra.

Resposta

a.
b.
c. â (positivo). Isso significa que a energia mecânica é positiva, indicando que a espaçonave pode escapar da atração gravitacional da Terra.

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