Dez planos uniformemente carregados, infinitos e não condutores, são paralelos a um plano y2 e posicionados a . As densidades de carga nos planos são , respetivamente. Qual é a magnitude da diferença de potencial entre a origem e o ponto na extremidade ? (Hizif: Use a lei de Gauss.)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 10 planos infinitos e não condutores, com cargas uniformemente distribuídas, paralelos a um plano y=2. Alguns desses planos estão localizados em posições específicas no eixo z, como e . As densidades de carga nesses planos são e , respectivamente. Queremos encontrar a diferença de potencial elétrico entre a origem ( ) e um ponto em . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular o campo elétrico gerado por essas cargas.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o campo elétrico criado por cada plano carregado. Para um plano infinito e uniformemente carregado, a Lei de Gauss nos diz que o campo elétrico gerado é dado por:
onde:
  • é a densidade de carga do plano,
  • é a permissividade do vácuo, aproximadamente .
Esse campo é constante e perpendicular ao plano, apontando para fora se a carga for positiva e para dentro se for negativa.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico para cada tipo de plano:
  1. Plano com :
O sinal negativo indica que o campo está direcionado para dentro do plano.
  1. Plano com :
O sinal positivo indica que o campo está direcionado para fora do plano.

Passo 4

Agora, vamos considerar como esses campos elétricos se somam. Como os planos são paralelos e infinitos, os campos se adicionam linearmente. Dependendo da posição onde estamos, o campo total será a soma dos campos de todos os planos que influenciam esse ponto.
Entre os planos, os campos podem se anular ou adicionar, dependendo das direções. Porém, como queremos a diferença de potencial entre a origem e , vamos considerar o campo resultante nessa região específica.

Passo 5

A diferença de potencial elétrico entre dois pontos é dada pela integral do campo elétrico ao longo do caminho entre esses pontos:
Nesse caso, e . Vamos integrar o campo elétrico resultante ao longo dessa trajetória.

Passo 6

Assumindo que o campo elétrico é constante na região considerada (o que é válido para campos de planos infinitos), a diferença de potencial simplifica para:
onde .
Vamos determinar o campo elétrico total nessa região.

Passo 7

Considerando os valores calculados anteriormente:
O campo total é negativo, indicando que ele está direcionado na direção negativa de .

Passo 8

Agora, calculamos a diferença de potencial:

Resposta

A magnitude da diferença de potencial entre a origem e o ponto em é aproximadamente 1,13 × 10³ V.

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