Dez planos uniformemente carregados, infinitos e não condutores, são paralelos a um plano y2 e posicionados a
. As densidades de carga nos planos são
, respetivamente. Qual é a magnitude da diferença de potencial entre a origem e o ponto na extremidade
? (Hizif: Use a lei de Gauss.)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 10 planos infinitos e não condutores, com cargas uniformemente distribuídas, paralelos a um plano y=2. Alguns desses planos estão localizados em posições específicas no eixo z, como
e
. As densidades de carga nesses planos são
e
, respectivamente. Queremos encontrar a diferença de potencial elétrico entre a origem (
) e um ponto em
. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular o campo elétrico gerado por essas cargas.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o campo elétrico criado por cada plano carregado. Para um plano infinito e uniformemente carregado, a Lei de Gauss nos diz que o campo elétrico
gerado é dado por:
onde:
-
é a densidade de carga do plano, -
é a permissividade do vácuo, aproximadamente .
Esse campo é constante e perpendicular ao plano, apontando para fora se a carga for positiva e para dentro se for negativa.
Passo 3
Vamos calcular o campo elétrico para cada tipo de plano:
- Plano com
:
O sinal negativo indica que o campo está direcionado para dentro do plano.
- Plano com
:
O sinal positivo indica que o campo está direcionado para fora do plano.
Passo 4
Agora, vamos considerar como esses campos elétricos se somam. Como os planos são paralelos e infinitos, os campos se adicionam linearmente. Dependendo da posição onde estamos, o campo total será a soma dos campos de todos os planos que influenciam esse ponto.
Entre os planos, os campos podem se anular ou adicionar, dependendo das direções. Porém, como queremos a diferença de potencial entre a origem e
, vamos considerar o campo resultante nessa região específica.
Passo 5
A diferença de potencial elétrico
entre dois pontos é dada pela integral do campo elétrico
ao longo do caminho entre esses pontos:
Nesse caso,
e
. Vamos integrar o campo elétrico resultante ao longo dessa trajetória.
Passo 6
Assumindo que o campo elétrico é constante na região considerada (o que é válido para campos de planos infinitos), a diferença de potencial simplifica para:
onde
.
Vamos determinar o campo elétrico total
nessa região.
Passo 7
Considerando os valores calculados anteriormente:
O campo total é negativo, indicando que ele está direcionado na direção negativa de
.
Passo 8
Agora, calculamos a diferença de potencial:
Resposta
A magnitude da diferença de potencial entre a origem e o ponto em
é aproximadamente 1,13 × 10³ V.
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e fiq
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