Em um dia claro, a intensidade de luz solar (em velas-pés) às horas após o nascente e à profundidade oceânica de metros, pode ser aproximada por em que é a intensidade ao meio-dia, é a extensão do dia (em horas) e é uma constante positiva. Se e , calcule e interprete e quando e .
Resposta: e velas-pés
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que descreve a intensidade da luz solar no oceano em função do tempo () e da profundidade (). A função é dada por:
Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais dessa função em relação a e nos pontos horas e metros. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, e entender como aplicar regras de derivação em funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação ao tempo , ou seja, . Isso significa que vamos ver como a intensidade da luz muda com o tempo, mantendo a profundidade constante.
A função que vamos derivar é:
Para derivar isso em relação a , vamos tratar como uma constante e focar na parte que envolve .
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia para derivar , onde . A derivada de em relação a é:
Agora, precisamos multiplicar isso pela derivada de em relação a :
Então, a derivada parcial de em relação a é:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa derivada no ponto e . Primeiro, substituímos esses valores na expressão:
partial Ipartial tg|(5,6) = 1000 , e^-0.5 cdot 3 times 1^2 times 0 times pi12 = 0
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de I em relação à profundidade x, ou seja, partial Ipartial x. Isso nos mostra como a intensidade da luz muda com a profundidade, mantendo o tempo t constante.
A função que vamos derivar é:
I(x, t) = 1000 , e^-0.10 , x sin^3(pi t12)
Aqui, vamos tratar t como uma constante e focar na parte que envolve x.
Passo 6
A derivada de e^-0.10 , x em relação a x é:
ddx e^-0.10 , x = -0.10 , e^-0.10 , x
Então, a derivada parcial de I em relação a x é:
partial Ipartial x = 1000 cdot (-0.10) , e^-0.10 , x sin^3(pi t12)
Simplificando:
partial Ipartial x = -100 , e^-0.10 , x sin^3(pi t12)
Passo 7
Agora, vamos calcular essa derivada no ponto t=6 e x=5. Substituímos os valores na expressão:
partial Ipartial xg|(5,6) = -100 , e^-0.10 times 5 sin^3(pi times 612)