Em um dia claro, a intensidade de luz solar (em velas-pés) às horas após o nascente e à profundidade oceânica de metros, pode ser aproximada por em que é a intensidade ao meio-dia, é a extensão do dia (em horas) e é uma constante positiva. Se e , calcule e interprete e quando e .
Resposta: e velas-pés

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que descreve a intensidade da luz solar no oceano em função do tempo ( ) e da profundidade ( ). A função é dada por:
Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais dessa função em relação a e nos pontos horas e metros. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, e entender como aplicar regras de derivação em funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação ao tempo , ou seja, . Isso significa que vamos ver como a intensidade da luz muda com o tempo, mantendo a profundidade constante.
A função que vamos derivar é:
Para derivar isso em relação a , vamos tratar como uma constante e focar na parte que envolve .

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia para derivar , onde . A derivada de em relação a é:
Agora, precisamos multiplicar isso pela derivada de em relação a :
Então, a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa derivada no ponto e . Primeiro, substituímos esses valores na expressão:
Simplificando:
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação à profundidade , ou seja, . Isso nos mostra como a intensidade da luz muda com a profundidade, mantendo o tempo constante.
A função que vamos derivar é:
Aqui, vamos tratar como uma constante e focar na parte que envolve .

Passo 6

A derivada de em relação a é:
Então, a derivada parcial de em relação a é:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular essa derivada no ponto e . Substituímos os valores na expressão:
Simplificando:
Como , temos:
Calculando numericamente:
Então:
é

Resposta

e velas-pés/m

Exercícios relacionados

Exercício 1. Calcule para cada função abaixo:
b) Pontos)
Exercício 1. Calcule para cada função abaixo:
a) (1,25 Pontos)
Calcule as derivadas parciais abaixo indicadas:
R.
Exercício 3. (10 Pontos)Calcule
e)