Em um dia claro, a intensidade de luz solar (em velas-pés) às t horas após o nascente e à profundidade oceânica de x metros, pode ser aproximada por I(x, t)=I0 e^-k x sin ^3(pi tD) em que I0 é a intensidade ao meio-dia, D é a extensão do dia (em horas) e k é uma constante positiva. Se I0=1000, D=12 e k=0.10, calcule e interprete partial Ipartial t e partial Ipartial x quando t=6 e x=5.
Resposta: If(5,6)=0 e Ix(5,6)=-60,65 velas-pés / m

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que descreve a intensidade da luz solar no oceano em função do tempo ( t) e da profundidade ( x). A função é dada por:
I(x, t) = I0 e^-k x sin^3(pi tD)
Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais dessa função em relação a t e x nos pontos t=6 horas e x=5 metros. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, e entender como aplicar regras de derivação em funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de I em relação ao tempo t, ou seja, partial Ipartial t. Isso significa que vamos ver como a intensidade da luz muda com o tempo, mantendo a profundidade x constante.
A função que vamos derivar é:
I(x, t) = 1000 , e^-0.10 , x sin^3(pi t12)
Para derivar isso em relação a t, vamos tratar x como uma constante e focar na parte que envolve t.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia para derivar sin^3(u), onde u = pi t12. A derivada de sin^3(u) em relação a u é:
ddusin^3(u) = 3sin^2(u) cos(u)
Agora, precisamos multiplicar isso pela derivada de u em relação a t:
dudt = pi12
Então, a derivada parcial de I em relação a t é:
partial Ipartial t = 1000 , e^-0.10 , x cdot 3sin^2(pi t12) cos(pi t12) cdot pi12

Passo 4

Agora, vamos calcular essa derivada no ponto t=6 e x=5. Primeiro, substituímos esses valores na expressão:
partial Ipartial tg|(5,6) = 1000 , e^-0.10 times 5 cdot 3sin^2(pi times 612) cos(pi times 612) cdot pi12
Simplificando:
partial Ipartial tg|(5,6) = 1000 , e^-0.5 cdot 3sin^2(pi2) cos(pi2) cdot pi12
Sabemos que sin(pi2) = 1 e cos(pi2) = 0, então:
partial Ipartial tg|(5,6) = 1000 , e^-0.5 cdot 3 times 1^2 times 0 times pi12 = 0

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de I em relação à profundidade x, ou seja, partial Ipartial x. Isso nos mostra como a intensidade da luz muda com a profundidade, mantendo o tempo t constante.
A função que vamos derivar é:
I(x, t) = 1000 , e^-0.10 , x sin^3(pi t12)
Aqui, vamos tratar t como uma constante e focar na parte que envolve x.

Passo 6

A derivada de e^-0.10 , x em relação a x é:
ddx e^-0.10 , x = -0.10 , e^-0.10 , x
Então, a derivada parcial de I em relação a x é:
partial Ipartial x = 1000 cdot (-0.10) , e^-0.10 , x sin^3(pi t12)
Simplificando:
partial Ipartial x = -100 , e^-0.10 , x sin^3(pi t12)

Passo 7

Agora, vamos calcular essa derivada no ponto t=6 e x=5. Substituímos os valores na expressão:
partial Ipartial xg|(5,6) = -100 , e^-0.10 times 5 sin^3(pi times 612)
Simplificando:
partial Ipartial xg|(5,6) = -100 , e^-0.5 sin^3(pi2)
Como sin(pi2) = 1, temos:
partial Ipartial xg|(5,6) = -100 , e^-0.5 times 1^3
Calculando numericamente:
e^-0.5 approx 0.60653
Então:
partial Ipartial xg|(5,6) approx -100 times 0.60653 = -60.65 , velas-pés/m é

Resposta

partial Ipartial t(5,6)=0 e partial Ipartial x(5,6)=-60,65 velas-pés/m

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