Exercício 3. (10 Pontos)Calcule
e)
e)
Passo 1
Vamos resumir o que temos aqui: precisamos calcular a integral
. Esse exercício envolve o conteúdo de integração por substituição, uma técnica que usamos para simplificar integrais complexas. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que torne a integral mais fácil de calcular.
Passo 2
A primeira coisa que vamos fazer é identificar uma parte da função que podemos substituir. Observamos que no denominador temos
. Vamos chamar isso de
:
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Perceba que no numerador da nossa integral temos
, que é metade de
:
Passo 3
Substituindo
e
na integral, temos:
A integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração. Portanto:
Agora, substituímos
de volta pela expressão original:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais abaixo indicadas:
R.
R.
Em um dia claro, a intensidade de luz solar (em velas-pés) às
horas após o nascente e à profundidade oceânica de
metros, pode ser aproximada por
em que
é a intensidade ao meio-dia,
é a extensão do dia (em horas) e
é uma constante positiva. Se
e
, calcule e interprete
e
quando
e
.
Resposta: e
velas-pés
Resposta:
Calcule as derivadas parciais abaixo indicadas:
R.:
R.:
Exercício 2. Faça o que se pede:
a) (1,5 Pontos) Seja . Encontre
.
a) (1,5 Pontos) Seja