Exercício 3. (10 Pontos)Calcule
e) integral 3 x3 x^2+5 d x

Passo 1

Vamos resumir o que temos aqui: precisamos calcular a integral integral 3x3x^2 + 5 , dx. Esse exercício envolve o conteúdo de integração por substituição, uma técnica que usamos para simplificar integrais complexas. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que torne a integral mais fácil de calcular.

Passo 2

A primeira coisa que vamos fazer é identificar uma parte da função que podemos substituir. Observamos que no denominador temos 3x^2 + 5. Vamos chamar isso de u:
u = 3x^2 + 5
Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 6x Rightarrow du = 6x , dx
Perceba que no numerador da nossa integral temos 3x , dx, que é metade de du:
3x , dx = 12 du

Passo 3

Substituindo u e du na integral, temos:
integral 3x3x^2 + 5 , dx = integral 12 duu = 12 integral duu
A integral de 1u em relação a u é ln |u| + C, onde C é a constante de integração. Portanto:
12 integral duu = 12 ln |u| + C
Agora, substituímos u de volta pela expressão original:
12 ln |3x^2 + 5| + C

Resposta

A integral integral 3x3x^2 + 5 , dx é igual a 12 ln |3x^2 + 5| + C, onde C é a constante de integração.

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