Exercício 3. (10 Pontos)Calcule
e)

Passo 1

Vamos resumir o que temos aqui: precisamos calcular a integral . Esse exercício envolve o conteúdo de integração por substituição, uma técnica que usamos para simplificar integrais complexas. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição que torne a integral mais fácil de calcular.

Passo 2

A primeira coisa que vamos fazer é identificar uma parte da função que podemos substituir. Observamos que no denominador temos . Vamos chamar isso de :
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Perceba que no numerador da nossa integral temos , que é metade de :

Passo 3

Substituindo e na integral, temos:
A integral de em relação a é , onde é a constante de integração. Portanto:
Agora, substituímos de volta pela expressão original:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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Calcule as derivadas parciais abaixo indicadas:
R.
Em um dia claro, a intensidade de luz solar (em velas-pés) às horas após o nascente e à profundidade oceânica de metros, pode ser aproximada por em que é a intensidade ao meio-dia, é a extensão do dia (em horas) e é uma constante positiva. Se e , calcule e interprete e quando e .
Resposta: e velas-pés
Calcule as derivadas parciais abaixo indicadas:
R.:
Exercício 2. Faça o que se pede:
a) (1,5 Pontos) Seja . Encontre .