Sejam e são bases de . Se e a matriz , encontre a base alpha.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo e o que precisamos saber para resolver. Temos duas bases, [I]beta^alpha = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 -1 & 1 & 1 e , para o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, . A base é dada por e nos fornecem uma matriz de mudança de base de para , que é:
O que precisamos encontrar é a base . Para isso, vamos usar o conceito de matrizes de mudança de base e como elas relacionam as duas bases.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a matriz de mudança de base vi = c1i alpha1 + c2i alpha2 + c3i alpha3 . Essa matriz transforma as coordenadas de um vetor na base para as coordenadas na base . Cada coluna dessa matriz representa as coordenadas de um vetor da base expressas na base .
Então, se , as colunas da matriz nos dizem como escrever cada em termos da base :
onde são os elementos da matriz de mudança de base.
Passo 3
Vamos nomear os vetores da base v1 = alpha1 v2 = 2alpha2 + alpha3 v3 = -alpha1 + alpha2 + alpha3 como . A matriz nos dá as coordenadas dos vetores de na base :
Aqui, , e .
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações para encontrar t = alpha1 1 + t = 2alpha2 + alpha3 1 - t - t^2 = -alpha1 + alpha2 + alpha3 , e :
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 5
Da primeira equação, já sabemos que:
alpha1 = t
Agora, substituímos 1 - t - t^2 = -t + alpha2 + alpha3 na terceira equação:
1 - t - t^2 + t = alpha2 + alpha3 1 - t^2 = alpha2 + alpha3 (Equação 3)
Simplificando:
çã
Passo 6
Agora, temos duas equações com 1 + t = 2alpha2 + alpha3 (Equação 2) 1 - t^2 = alpha2 + alpha3 (Equação 3) e (1 + t) - (1 - t^2) = (2alpha2 + alpha3) - (alpha2 + alpha3) t + t^2 = alpha2 :
alpha2 = t + t^2 çãçã
Vamos subtrair a Equação 3 da Equação 2 para eliminar :
Então:
Passo 7
Com 1 - t^2 = (t + t^2) + alpha3 1 - t^2 - t - t^2 = alpha3 1 - t - 2t^2 = alpha3 , vamos substituir na Equação 3 para encontrar alpha3 = 1 - t - 2t^2 :
Então:
Resposta
Portanto, a base alpha = t,; t + t^2,; 1 - t - 2t^2 é: