Encontre o posto e a nulidade da transformação linear
dada por
. Verifique a validade do Teorema do Núcleo e Imagem para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! O enunciado nos pede para encontrar o posto e a nulidade da transformação linear
definida por
. Além disso, vamos verificar se o Teorema do Núcleo e Imagem está valendo para essa transformação. Para isso, vamos precisar entender conceitos como imagem, núcleo, posto e nulidade de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o posto (ou imagem) de uma transformação linear. O posto de
é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando
a algum vetor de
. No nosso caso,
, então a imagem de
é formada por todos os vetores do tipo
.
Passo 3
Agora, observamos que o terceiro componente sempre é zero. Isso significa que os vetores na imagem de
estão todos no plano
. Além disso, os primeiros dois componentes
e
podem variar livremente, já que
e
podem ser quaisquer números reais. Portanto, a imagem de
é um subespaço de
de dimensão 2.
Passo 4
Então, o posto de
é 2. Isso porque a imagem de
é um espaço bidimensional dentro de
.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre a nulidade de
, que é a dimensão do núcleo de
. O núcleo de
é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero, ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo esse sistema, vemos que
e
. O valor de
pode ser qualquer número real, já que não há restrição para ele. Portanto, o núcleo de
consiste de todos os vetores da forma
, onde
é real.
Passo 7
Isso significa que o núcleo de
é uma linha no espaço, ou seja, é um subespaço unidimensional de
. Portanto, a nulidade de
é 1.
Passo 8
Finalmente, vamos verificar o Teorema do Núcleo e Imagem, que diz que para uma transformação linear
,
No nosso caso, temos:
E
, já que
. Então, o teorema está valendo para
.
Resposta
O posto de
é 2 e a nulidade de
é 1. Além disso, o Teorema do Núcleo e Imagem está validado para essa transformação linear.