Encontre o posto e a nulidade da transformação linear T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)= (x, 2 y, 0). Verifique a validade do Teorema do Núcleo e Imagem para T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! O enunciado nos pede para encontrar o posto e a nulidade da transformação linear definida por . Além disso, vamos verificar se o Teorema do Núcleo e Imagem está valendo para essa transformação. Para isso, vamos precisar entender conceitos como imagem, núcleo, posto e nulidade de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o posto (ou imagem) de uma transformação linear. O posto de é o conjunto de todos os vetores que podemos obter aplicando a algum vetor de . No nosso caso, , então a imagem de é formada por todos os vetores do tipo .

Passo 3

Agora, observamos que o terceiro componente sempre é zero. Isso significa que os vetores na imagem de estão todos no plano . Além disso, os primeiros dois componentes e podem variar livremente, já que e podem ser quaisquer números reais. Portanto, a imagem de é um subespaço de de dimensão 2.

Passo 4

Então, o posto de é 2. Isso porque a imagem de é um espaço bidimensional dentro de .

Passo 5

Agora, vamos falar sobre a nulidade de T(x, y, z) = (x, 2y, 0) = (0, 0, 0) , que é a dimensão do núcleo de x = 0 2y = 0 0 = 0 . O núcleo de é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero, ou seja:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo esse sistema, vemos que e . O valor de pode ser qualquer número real, já que não há restrição para ele. Portanto, o núcleo de consiste de todos os vetores da forma , onde é real.

Passo 7

Isso significa que o núcleo de é uma linha no espaço, ou seja, é um subespaço unidimensional de . Portanto, a nulidade de é 1.

Passo 8

Finalmente, vamos verificar o Teorema do Núcleo e Imagem, que diz que para uma transformação linear dim(Im(T)) + dim(Ker(T)) = dim(V) ,
Posto + Nulidade = 2 + 1 = 3
No nosso caso, temos:
E , já que . Então, o teorema está valendo para .

Resposta

O posto de é 2 e a nulidade de é 1. Além disso, o Teorema do Núcleo e Imagem está validado para essa transformação linear.

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