Diagonalize, se possível, a matriz A. Se for diagonalizável, encontre matrizes P e D, com P invertível e D diagonal, tais que A=P D P^-1 onde
A=(ccc 2 & -1 & -1 1 & 4 & 1 -1 & -1 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente diagonalizar a matriz , se isso for possível. Diagonalizar uma matriz significa encontrar duas matrizes: , que precisa ser invertível, e , que é uma matriz diagonal, de forma que . Para fazer isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A - lambda I = 2 - lambda & -1 & -1 1 & 4 - lambda & 1 -1 & -1 & 2 - lambda . Os autovalores são valores de det(A - lambda I) = 0 que satisfazem a equação característica: , onde é a matriz identidade.
Vamos montar :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir esse determinante.

Passo 3

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) &= (2 - lambda)[(4 - lambda)(2 - lambda) - (1)(-1)] & + 1[1(2 - lambda) - (1)(-1)] & -1[1(-1) - (4 - lambda)(-1)]
Simplificando:
= (2 - lambda)[(4 - lambda)(2 - lambda) + 1] + 1[(2 - lambda) + 1] -1[-1 + (4 - lambda)]
Continuando a simplificar:
= (2 - lambda)[(8 - 6lambda + lambda^2) + 1] + (3 - lambda) -1(3 - lambda)
= (2 - lambda)(lambda^2 - 6lambda + 9) + (3 - lambda) - (3 - lambda)
= (2 - lambda)(lambda^2 - 6lambda + 9)
Expandindo novamente:
= 2lambda^2 - 12lambda + 18 - lambda^3 + 6lambda^2 - 9lambda
Agrupando os termos semelhantes:
= -lambda^3 + 8lambda^2 - 21lambda + 18
Igualando a zero:
-lambda^3 + 8lambda^2 - 21lambda + 18 = 0
Multiplicando por -1 para simplificar:
lambda^3 - 8lambda^2 + 21lambda - 18 = 0

Passo 4

Agora, precisamos resolver a equação cúbica 1 - 8 + 21 - 18 = -4 neq 0 para encontrar os autovalores. Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que sugere testar fatores de 18 (termo constante) sobre fatores de 1 (coeficiente líder).
Testando 8 - 32 + 42 - 18 = 0 :
lambda^3 - 8lambda^2 + 21lambda - 18 = (lambda - 2)(lambda^2 - 6lambda + 9)
Testando lambda = 6 pm raiz36 - 362 = 62 = 3 :
Funcionou! Então é um autovalor. Vamos fatorar o polinômio usando :
Dividindo por , obtemos:
Agora, resolvemos :
Então, é um autovalor com multiplicidade 2.

Passo 5

Agora que temos os autovalores A - 2I = 0 & -1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & -1 & 0 e - v2 - v3 = 0 v1 + 2v2 + v3 = 0 - v1 - v2 = 0 (com multiplicidade 2), vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para t -t t :
Resolvemos 1 -1 1 :
1 -1 1
Montamos o sistema:
A - 3I = -1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 -1 & -1 & -1
Da primeira equação, - v1 - v2 - v3 = 0 v1 + v2 + v3 = 0 - v1 - v2 - v3 = 0 .
Da terceira equação, v1 + v2 + v3 = 0 .
Então, podemos parametrizar v = -s - t s t = s -1 1 0 + t -1 0 1 , e os autovetores são da forma -1 1 0 .
Assim, um autovetor para -1 0 1 é .
Para :
Resolvemos :
Montamos o sistema:
Observamos que todas as equações são equivalentes, então temos apenas uma equação:
Podemos expressar . Vamos parametrizar e , então:
Então, os autovetores para são combinações lineares de e .

Passo 6

Para a matriz D = 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3 ser diagonalizável, precisamos que o número de autovetores seja igual à dimensão da matriz, ou seja, 3 neste caso. Temos um autovetor para P = 1 & -1 & -1 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 e dois autovetores lineares independentes para , totalizando 3 autovetores. Portanto, é diagonalizável.
Agora, vamos construir as matrizes e :
  • Matriz : Matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
  • Matriz : Matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes aos autovalores de :

Resposta

A matriz P = 1 & -1 & -1 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 , D = 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3 é diagonalizável, e as matrizes e que satisfazem são:

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