Diagonalize, se possível, a matriz . Se for diagonalizável, encontre matrizes e , com invertível e diagonal, tais que onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente diagonalizar a matriz , se isso for possível. Diagonalizar uma matriz significa encontrar duas matrizes: , que precisa ser invertível, e , que é uma matriz diagonal, de forma que . Para fazer isso, vamos precisar trabalhar com autovalores e autovetores da matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A - lambda I = 2 - lambda & -1 & -1 1 & 4 - lambda & 1 -1 & -1 & 2 - lambda . Os autovalores são valores de det(A - lambda I) = 0 que satisfazem a equação característica: , onde é a matriz identidade.
Funcionou! Então é um autovalor. Vamos fatorar o polinômio usando :
Dividindo por , obtemos:
Agora, resolvemos :
Então, é um autovalor com multiplicidade 2.
Passo 5
Agora que temos os autovalores A - 2I = 0 & -1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & -1 & 0 e - v2 - v3 = 0 v1 + 2v2 + v3 = 0 - v1 - v2 = 0 (com multiplicidade 2), vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para t -t t :
Resolvemos 1 -1 1 :
1 -1 1
Montamos o sistema:
A - 3I = -1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 -1 & -1 & -1
Da primeira equação, - v1 - v2 - v3 = 0 v1 + v2 + v3 = 0 - v1 - v2 - v3 = 0 .
Da terceira equação, v1 + v2 + v3 = 0 .
Então, podemos parametrizar v = -s - t s t = s -1 1 0 + t -1 0 1 , e os autovetores são da forma -1 1 0 .
Assim, um autovetor para -1 0 1 é .
Para :
Resolvemos :
Montamos o sistema:
Observamos que todas as equações são equivalentes, então temos apenas uma equação:
Podemos expressar . Vamos parametrizar e , então:
Então, os autovetores para são combinações lineares de e .
Passo 6
Para a matriz D = 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3 ser diagonalizável, precisamos que o número de autovetores seja igual à dimensão da matriz, ou seja, 3 neste caso. Temos um autovetor para P = 1 & -1 & -1 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 e dois autovetores lineares independentes para , totalizando 3 autovetores. Portanto, é diagonalizável.
Agora, vamos construir as matrizes e :
Matriz : Matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Matriz : Matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes aos autovalores de :
Resposta
A matriz P = 1 & -1 & -1 -1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 , D = 2 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 3 é diagonalizável, e as matrizes e que satisfazem são: