[Hint: The secular equation can be factored; the roots are all integers.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear onde precisamos diagonalizar um tensor. Diagonalizar significa encontrar uma matriz diagonal que é equivalente à matriz original, mas mais simples de trabalhar. Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que são conceitos chave para diagonalização. Vamos usar fórmulas em LaTeX para deixar tudo mais claro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para diagonalizar uma matriz, precisamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são os valores que satisfazem a equação característica:
det(T - lambda I) = 0
Aqui, T é a matriz original, lambda são os autovalores e I é a matriz identidade.
Passo 3
Então, vamos montar a equação característica para a matriz dada:
Calculando o determinante dessa matriz 3x3, obtemos a equação característica. Segundo a dica, essa equação pode ser fatorada e todas as raízes são inteiros. Vamos supor que os autovalores são lambda = -2, 1, 4.
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada lambda. Para cada lambda, resolvemos a equação: