Diagonalize the tensor
T=(ccc 7 & raiz6 & -raiz3 raiz6 & 2 & -5 raiz2 -raiz3 & -5 raiz2 & -3 )
[Hint: The secular equation can be factored; the roots are all integers.]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear onde precisamos diagonalizar um tensor. Diagonalizar significa encontrar uma matriz diagonal que é equivalente à matriz original, mas mais simples de trabalhar. Para isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que são conceitos chave para diagonalização. Vamos usar fórmulas em LaTeX para deixar tudo mais claro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para diagonalizar uma matriz, precisamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são os valores que satisfazem a equação característica:
det(T - lambda I) = 0
Aqui, T é a matriz original, lambda são os autovalores e I é a matriz identidade.

Passo 3

Então, vamos montar a equação característica para a matriz dada:
T = 7 & raiz6 & -raiz3 raiz6 & 2 & -5raiz2 -raiz3 & -5raiz2 & -3
Subtraímos lambda da diagonal principal e calculamos o determinante:
det( 7 - lambda & raiz6 & -raiz3 raiz6 & 2 - lambda & -5raiz2 -raiz3 & -5raiz2 & -3 - lambda ) = 0

Passo 4

Calculando o determinante dessa matriz 3x3, obtemos a equação característica. Segundo a dica, essa equação pode ser fatorada e todas as raízes são inteiros. Vamos supor que os autovalores são lambda = -2, 1, 4.

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada lambda. Para cada lambda, resolvemos a equação:
(T - lambda I)v = 0
onde v é o autovetor.

Passo 6

Para lambda = -2:
T - (-2)I = 9 & raiz6 & -raiz3 raiz6 & 4 & -5raiz2 -raiz3 & -5raiz2 & -1
Resolvendo esse sistema, encontramos o autovetor correspondente.

Passo 7

Repetimos o mesmo processo para lambda = 1 e lambda = 4, encontrando assim todos os autovetores.

Passo 8

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos montar a matriz diagonal D e a matriz de autovetores P:
D = -2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 4 , P = v1 & v2 & v3

Resposta

A diagonalização da matriz T é dada por:
T = P D P^-1
onde D é a matriz diagonal dos autovalores -2, 1, e 4, e P é a matriz formada pelos respectivos autovetores.

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